"Racine Carrée" d'une matrice + symétrique

[yop67]

Bonsoir ,


Je n'arrive pas à faire cet exo :

Soit une X une matrice N.K. déterminer une matrice B (K.K) tq X'X = B'B

[Maxmau]

Bonsoir ,


Je n'arrive pas à faire cet exo :

Soit une X une matrice N.K. déterminer une matrice B (K.K) tq X'X = B'B

Bj
X'X est une matrice symétrique positive de format KxK

[yop67]

Bj
X'X est une matrice symétrique positive de format KxK

d'accord , du coup je dois faire quoi ? calculer la matrice symétrique?

[Maxmau]

d'accord , du coup je dois faire quoi ? calculer la matrice symétrique?

je note b la forme bilinéaire symétrique de matrice X'X dans la base canonique e de R^K.
Il existe une base e' dans laquelle la matrice de b est diagonale (avec des éléments diagonaux positifs ou nuls). Utilise alors la formule de changement de base pour une forme bilinéaire et le fait que la matrice diagonale admet une racine carrée.

[yop67]

je note b la forme bilinéaire symétrique de matrice X'X dans la base canonique e de R^K.
Il existe une base e' dans laquelle la matrice de b est diagonale (avec des éléments diagonaux positifs ou nuls). Utilise alors la formule de changement de base pour une forme bilinéaire et le fait que la matrice diagonale admet une racine carrée.

Ok je vois pour la formule , comment determine-t-on la matrice de passage du coup?

[Maxmau]

Ok je vois pour la formule , comment determine-t-on la matrice de passage du coup?

V vecteur représenté par la colonne Ve dans la base e et la colonne Ve' dans la base e'
b(V,W) = (Ve)' (X'X) We = (Ve')' D We'
le cht de base se traduit par des relations: Ve' = P Ve , We' = PWe
d'où (Ve)' (X'X) We = (P Ve)' D (PWe) = (Ve)' P' D P We cela qq soit V et W
donc: X'X =P' D P; comme D a des éléments positifs ou nuls sur la diagonale D peut s'écrire comme le carré d'une matrice diagonale. Je te laisse terminer

[yop67]

merci bien !