Racine carrée d'une expression

[abc]

Est-ce qu'il y a une façon de démontrer que l'expression suivante n'est pas un carré parfait si k est un entier plus grand que 0 ?

1 + 24*k + 144*k^2 + 288*k^3

Merci pour l'aide!

[Sa Majesté]

Piste : par l'absurde
Si 1 + 24*k + 144*k^2 + 288*k^3 = a²
Alors (a-1)(a+1) = 24k (1+6k+12k²)
a est nécessairement impair : a=2p+1
p(p+1) = 6k (1+6k+12k²)

[abc]

Merci pour cette idée intéressante au premier abord. Malheureusement ça mène nulle part.

[lyceen95]

a est nécessairement impair , et (a-1) ou (a+1) est multiple de 3.
Donc a est de la forme 6p+1 ou 6p-1.

[abc]

D'accord, mais est-ce que cela peut m'aider pour démontrer que 1 + 24*k + 144*k^2 + 288*k^3 n'est pas un carré?

[abc]

Pour démontrer que 1 + 24*k + 144*k^2 + 288*k^3 ne peut être un carré, on pourrait procéder par élimination. Compte tenu que le chiffre unitaire est cyclique, il revient chaque fois que k augmente de 5, on peut éliminer tous les résultats qui se terminent par 3 ou 7 puisqu'un carré se termine jamais par 3 ou 7. Toutefois il reste encore tous les résultats se terminant par 1, 5 ou 9 qui pourraient être des carrés. Comment les éliminer?
k...........................1 + 24*k + 144*k^2 + 288*k^3
1...................................457
2................................2929
3................................9145
4.............................20833
5.............................39721
6.............................67537
7..........................106009
8..........................156865
9..........................221833
10.......................302641
11.......................401017
12.......................518689
13.......................657385
14.......................818833
15....................1004761
16....................1216897