Raccordement en 1 et -1

[zygomatique]

le pb n'est plus l'équation différentielle pour la question de recollement ...

le pb c'est qu'on a des couples (y, I) où y est une solution de l'équation sur l'intervalle I

peut-on avec toutes ces solutions en construire une sur R valable sur chaque intervalle J ?

oui : il suffit de prendre f ....

[chan79]

Tentative de "raccordement"
On utilise les fonctions r, s et t de -{-1;1} dans définies par:



si x-1, r(x)=0



si -11, s(x)=0



si x1, t(x)=1

Les solutions de l'équation sur -{-1;1} sont les fonctions définies par;



, et constantes réelles

f(x) est donc égal à , étant égal à , ou selon que appartient à l'un ou l'autre des 3 intervalles.

Exemple

[marawita1]

Bonjour,
Merci à vous pour ces réponses, je remarque qu'il y a deux points de vue différents.

[chan79]

Bonjour,
Merci à vous pour ces réponses, je remarque qu'il y a deux points de vue différents.

je ne pense pas qu'il y ait deux points de vue.
Dans ce que j'ai mis ci-dessus, on voit qu'il y a autant de solutions que de valeurs pour le triplet (a,b,c).
Chaque fonction vérifie l'équation donnée sur -{-1;1}.
Chaque fonction peut-être prolongée par continuité en posant f(-1)=f(1)=0.
La seule qui soit dérivable sur est x--> 2(x²-1).

[zygomatique]

sauf que

... étant égal à a, b ou c selon que x appartient à l'un ou l'autre des 3 intervalles.

ne convient pas ce me semble-t-il ...


quand on cherche un candidat au recollement ce n'est pas à partir d'une construction telle que tu le fais c'est à partir de

sur l'intervalle ]-oo, -1[ la solution est

sur l'intervalle ]-1, 1[ la solution est

sur l'intervalle ]1, +oo[ la solution est

toutes les solutions de cette ED sont les couples (une solution sur un intervalles) donnés au dessus

et la seule qui convienne est mon f (prendre a = b = c = 0) qui est dérivable sur chacun des intervalles (puisqu'elle est dérivable sur R) et qui vérifie l'équation sur chacun des intervalles


et ce qui répond aussi à

je ne vois pas pourquoi tu écartes tous les autres recollements continus possibles ?

(et une fonction c'est pas forcément une formule)

sinon je pense alors qu'à toute ED donnant des solutions sur des intervalles disjoints comme au dessus on construit alors une formule (oui, oui une fonction est une formule, une phrase est une formule) valable sur R .... ce qui n'est pas le cas je pense ...


je pense que ça vient de ce que la recherche de primitive se fait toujours sur un ensemble connexe à cause des problèmes de constantes justement ....

car tes fonctions r,s et t sont en fait des constantes ....différentes suivant les intervalles ... ce qui est une autre façon d'écrire de façon condensée (et artificielle) les solutions que je rappelle au dessus

:lol3:

[chan79]

l'équation est

écrite telle quelle l'équation impose donc de l'étudier sur les trois intervalles donnés plus haut

sur chaque intervalle la solution générale est

et plus précisément :

sur l'intervalle ]-oo, -1[ la solution est

sur l'intervalle ]-1, 1[ la solution est

sur l'intervalle ]1, +oo[ la solution est

La fonction (de paramètres a, b et c ) que j'ai mise correspond exactement à la tienne ci-dessus.
Si on la dérive sur chaque des trois intervalles, l'équation différentielle est vérifiée sur chaque intervalle.

[Doraki]

et la seule qui convienne est mon f (prendre a = b = c = 0) qui est dérivable sur chacun des intervalles (puisqu'elle est dérivable sur R) et qui vérifie l'équation sur chacun des intervalles

justment tu n'as rien expliqué. Tous les autres raccords possibles donnent des fonctions continues sur R, dérivables sur R-{-1;1} et qui y vérifient l'équation différentielle. Qu'est-ce que ta fonction a de mieux que les autres ???

[zygomatique]

c'est la même constante !!!!

le coefficient de est le même quel que soit l'intervalle puisque c'est 0

alors que la solution de chan79 propose un coefficient différent suivant l'intervalle considéré

et ça je ne pense pas (mais peut-être me trompé-je) que ce soit valide ...

et je pense que ça vient du problème de l'intégration d'une fonction sur un ensemble non connexe ...

car en partant de y' quelle constante choisir avec la "solution" de chan79 ....

moi je ne choisis pas ... car il n'y en a pas ...

:lol3:

[Doraki]

Et qu'est-ce que tu as contre alors ?
ça veut dire quoi "valide" ?

Est-ce qu'on est d'accord qu'on cherche les fonctions continues de R dans R dérivable sur R-{-1;1} et qui vérifient l'équadiff sur R-{-1;1} ?

[chan79]

Un lien pour visualiser les solutions.
Faire varier les curseurs
LIEN

[zygomatique]

la fonction valeur absolue, de même que la fonction racine n'est pas dérivable en 0 donc ici pour x = 1 ou x = -1

ce qui interdit de prendre a, b et c autre que 0 ...

enfin bon j'ai peut-être tord et tout ça est loin donc je ne persisterai pas ...

ce que propose chan79 (appuyé par Doraki) semble raisonnable ...

je m'incline donc ...