Quotients

[jlb]

Bonjour, H,J deux sous groupes normaux de G avec H c J.

1ère question: J/H est un sous groupe normal de G/H
{ soit x dans J et g dans G alors [g][x][g^(-1)]=[gxg^(-1)] car ce sont des classes de G/H et comme J normal [gxg^(1)] appartient à J/H : c'est bon ça?}

2ème question: (G/H) / (J/H) est isomorphe à G/J ( là, c'est ok, j'ai suivi l'explication, je crois :cry: )

Bon le problème, je ne vois pas trop à quoi ressemble (G/H) / (J/H) si ce n'est que c'est isomorphe à G/J :zen: ?

J'aurai besoin d'une illustration avec de tels groupes G,H et J et surtout la description des quotients.

Merci si vous avez cela sous la main.

[DamX]

Bonjour,

je passe juste.

Tu peux essayer de visualiser ce que ça donne avec G = Z, (les entiers relatifs), J = 2Z, H = 6Z.

Damien

[jlb]

Bonjour,

je passe juste.

Tu peux essayer de visualiser ce que ça donne avec G = Z, (les entiers relatifs), J = 2Z, H = 6Z.

Damien

Salut, donc G/J=Z/2Z={[0],[1]} [.] classe modulo 2

G/H=Z/6Z={[0]',...[5]'} et J/H=2Z/6Z ={[0]',[2]',[4]'} [.]' classe modulo 6

Bon là, cela va pour l'instant mais je ne suis pas sûr du tout pour la suite

je dois trouver le groupe quotient en revenant à la définition d'une classe?

du coup, on aurait [0]''={[0]',[2]',[4]'} [1]''={[1]',[3]',[5]'} [2]''={[2]',[4]',[0]'}...[5]''={[5]',[1]',[3]'}

et finalement, (G/H)/(J/H) ={[0]'',[1]''} [.]'' classe modulo J/H ??

le truc qui me paraissait dur c'est d'expliciter (G/H)/(J/H) mais sur cet exemple cela va.

Par contre, comment on calcule [1]'' + [1]''??? et comment cela s'écrit???

Merci!!


Je poursuis: est-ce que [1]'' est une erreur d'écriture, j'aurais du écrire [[1]']'' ??? si c'est cela, je comprends le calcul.

[Ben314]

Salut,
Je vois pas trop ce que tu vérifie dans tes calculs où, nulle part, n'intervient le quotient J/H qui ici est 2Z/6Z.
Je te rapelle que, ce que tu voulais visualiser, c'est que (G/H) / (J/H) est isomorphe à G/J, donc dans cet exemple, que (Z/6Z) / (2Z/6Z) est isomorphe à Z/2Z.

Et, à mon avis, dans un cas comme ici, tu utiliserais une notation "fonctionnelle" pour les classes, ça serait pas plus con. Par exemple, les éléments de Z/2Z, tu dit que c'est et où est la surjection canonique de Z dans Z/2Z.
C'est à peine plus lourd à manipuler que des notations style ou et si, comme ici, tu as plusieurs quotient par des trucs différents à manipuler, c'est nettement plus clair.

[jlb]

Salut,
Je vois pas trop ce que tu vérifie dans tes calculs où, nulle part, n'intervient le quotient J/H qui ici est 2Z/6Z.
Je te rapelle que, ce que tu voulais visualiser, c'est que (G/H) / (J/H) est isomorphe à G/J, donc dans cet exemple, que (Z/6Z) / (2Z/6Z) est isomorphe à Z/2Z.

Et, à mon avis, dans un cas comme ici, tu utiliserais une notation "fonctionnelle" pour les classes, ça serait pas plus con. Par exemple, les éléments de Z/2Z, tu dit que c'est et où est la surjection canonique de Z dans Z/2Z.
C'est à peine plus lourd à manipuler que des notations style ou et si, comme ici, tu as plusieurs quotient par des trucs différents à manipuler, c'est nettement plus clair.

Salut, j'ai tapé Z pour H à plusieurs endroits, c'est corrigé.
Et du coup, tu vas écrire comment avec cette notation les éléments de (Z/6Z) / (2Z/6Z)? .

[Ben314]

Et du coup, tu vas écrire comment avec cette notation les éléments de (Z/6Z) / (2Z/6Z)? .

Oui, les éléments de (Z/6Z) / (2Z/6Z) s'écriront avec dans Z/6Z soit encore avec dans Z.
Où est la projection canonique de Z dans Z/6Z et celle de Z/6Z dans (Z/6Z) / (2Z/6Z).
Après, tu peut aussi poser pour simplifier...:ptdr:

De toute façon, c'est que des notations : ça va pas changer le résultat...

Par contre, comment on calcule [1]'' + [1]''??? et comment cela s'écrit???

Ton , c'est la composée des deux projections canoniques dans les quotients [ Z -> Z/6Z puis Z/6Z -> (Z/6Z)/(2Z/6Z) ] donc comme composée de deux morphisme d'anneaux, c'est un morphisme d'anneau ce qui signifie que et que où et désignent l'addition et la multiplication dans (Z/6Z)/(2Z/6Z) qu'on peut, si on veut, noter sans soucis directement et (à condition de ne jamais oublier que ce ne sont pas les opérations usuelles sur Z...)

[jlb]

Merci, tout cela m'aide bien. Le truc essentiel pour moi, c'était de visualiser ces quotients: décrire explicitement leur éléments car cela n'a jamais été trop clair pour moi.