Bonjour à tous,
Je reviens sur la notion de sous-groupe distingué, je pensais cette notion acquise mais il me reste des zones d'ombre.
Quand on a un groupe G, on peut étendre la loi à l'ensemble des parties de G en posant, si et :
On peut alors montrer (plus difficilement qu'on pourrait le croire !) que , que et même que .
J'essaie d'exploiter ces propriété pour revisiter la loi de l'ensemble quotient.
1) Ma première question porte sur un sous-groupe H non distingué. Je vais tout penser "à gauche".
La relation R définie par si est une relation d'équivalence. Les classes d'équivalence de cette relation s'appelles les classes à gauche, l'ensemble des classes à gauche (l'ensemble quotient) est noté G/H et .
Cette relation d'équivalence est compatible à gauche avec la loi du groupe, autrement dit
Ce qui permet de quotienter partiellement : on peut définir une application par .
Cette application n'a qu'un intérêt théorique mais j'y reviens un peu plus tard.
2) Ma deuxième question
Si H est un sous-groupe distingué de G, en définissant , on définit une loi de groupe sur G/H en posant .
Par abus de notation, on pourrait noter ça . Mais est-ce vraiment un abus de notation ?
donc
La loi de G/H est la loi de G étendue à l'emsemble des parties de G puis restreinte à G/H x G/H
De même, dans la loi du 1), on aurait pu écrire donc
Je voudrais juste que vous me confirmiez que je n'ai rien écrit de faux ! (Et bien sur toute critique, tout commentaire ou toute piste d'approfondisement m'intéresse !)
Merci d'avance