Quotienter quand H n'est pas distingué

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chombier
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Quotienter quand H n'est pas distingué

par chombier » 22 Mai 2021, 11:29

Bonjour à tous,

Je reviens sur la notion de sous-groupe distingué, je pensais cette notion acquise mais il me reste des zones d'ombre.

Quand on a un groupe G, on peut étendre la loi à l'ensemble des parties de G en posant, si et :

On peut alors montrer (plus difficilement qu'on pourrait le croire !) que , que et même que .

J'essaie d'exploiter ces propriété pour revisiter la loi de l'ensemble quotient.

1) Ma première question porte sur un sous-groupe H non distingué. Je vais tout penser "à gauche".
La relation R définie par si est une relation d'équivalence. Les classes d'équivalence de cette relation s'appelles les classes à gauche, l'ensemble des classes à gauche (l'ensemble quotient) est noté G/H et .

Cette relation d'équivalence est compatible à gauche avec la loi du groupe, autrement dit


Ce qui permet de quotienter partiellement : on peut définir une application par .

Cette application n'a qu'un intérêt théorique mais j'y reviens un peu plus tard.

2) Ma deuxième question

Si H est un sous-groupe distingué de G, en définissant , on définit une loi de groupe sur G/H en posant .

Par abus de notation, on pourrait noter ça . Mais est-ce vraiment un abus de notation ?

donc


La loi de G/H est la loi de G étendue à l'emsemble des parties de G puis restreinte à G/H x G/H

De même, dans la loi du 1), on aurait pu écrire donc

Je voudrais juste que vous me confirmiez que je n'ai rien écrit de faux ! (Et bien sur toute critique, tout commentaire ou toute piste d'approfondisement m'intéresse !)

Merci d'avance



azf

Re: Quotienter quand H n'est pas distingué

par azf » 22 Mai 2021, 11:45

Bonjour

j'ai lu rapidement (en passant sur le narratif car là j'écoute de la zic(oui ça faisait longtemps excuse moi ) et sauf erreur c'est ok pour moi

Si jamais ça t'intéresse de voir ce qui se passe quand un sous-groupe n'est pas distingué

ses classes à gauche et à droites sont en quantité égales mais certaines (au moins une ) peuvent différer

j'ai toutes les classes à gauche et à droite pour tous les sous-groupes non distingués de

 

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