Questions sur les corps algébriques

[Gros Caramel]

Bonjour,

Je bloque sur un problème tiré de mon cours d'algèbre.

On demande de démontrer que K = {a+bi | a,b E Q} est un corps de nombre.

Dans les notes de cours du professeur, le concept de corps de nombres est plutot mal défini. Les notes disent "On dit que K est un corps de nombres si et seulement si K est un corps pour l'addition et la multiplication usuelle tel que pour tout a,b E Q, a+b, a-b, a*b et a/b (avec b non egal a 0) sont element de K"

J'ai fait quelques recherches et j'obtiens plutot la definition suivante : "Un corps de nombres est une extention finie et algebrique du corps des nombres rationnels".

Pour répondre à la question, j'ai tout simplement décidé de montrer que K est un corps de décomposition du polynome P[X] défini par x^2+1. Ma compréhension est qu'un corps de décomposition d'un polynome formé sur Q est une extention finie et algebrique de Q. Mais je n'en suis pas certain.

Mes questions sont les suivantes :

(1) La définition du professeur semble dire que dès qu'un corps est fermé pour *-/+, il est un "corps de nombres". Cela est-il correct? Si oui, en quoi la fermeture de *-/+ d'un corps K garantie que K est algebrique sur Q?

(2) Est-il correct de dire qu'un corps de décomposition K sur un polynome P[x] dont les coefficients viennent de Q est automatiquement une extention algebrique et finie de Q.

(3) Est-il correct de dire que un corps K est fini si la dimension de ce corps considéré comme espace vectoriel est finie?

(4) Est-il correct de dire que le corps K = {a+bi | a,b E Q} est de dimension 2?

(5) Est-il correct de dire qu'un corps K est une extention algebrique de Q si tous les éléments de K constituent une racine d'au moins un polynome sur Q?

Merci à l'avance de votre aide,

GC

[nuage]

Salut,
la proposition 1) est fausse, par exemple R et C sont des corps qui ne sont pas algébriques sur Q, par exemple (classique) n'est pas algébrique sur Q.

Le 2 est la définition d'une extension algébrique de Q.

Le 3 est faux (un corps n'a pas de dimension intrinsèque) C est de dimension finie comme espace vectoriel de R mais n'est pas fini pour autant.

Pour le 4 est un corps. On peut le considérer comme un e.v. sur , il est alors de dimension 2. Au passage c'est le corps de rupture de sur

Pour le 5 c'est la définition d'une extension algébrique.

A+
nuage :

[Gros Caramel]

Merci Nuage de ta réponse,

Je demeure un peu confus par rapport à la différence entre "extention algébrique" et "extention finie".

Quand on définit un "corps de nombres" comme une extention algébrique *et* finie sur Q, cela implique que ces concepts sont différents et que l'un n'implique pas l'autre.

Je comprends bien le concept d'extention algébrique sur Q. Mais que veux dire une extention finie? Une extention algébrique n'est-elle pas automatiquement une extention finie?

Finalement, si on veut montrer que K est un corps de nombres, sachant facilement montrer qu'il est algebrique sur Q, comment montre-t-on qu'il est d'extention "finie"?

merci,
GC

[abcd22]

Quand on définit un "corps de nombres" comme une extention algébrique *et* finie sur Q, cela implique que ces concepts sont différents et que l'un n'implique pas l'autre.

Une extension finie est algébrique (si L est de dimension n sur K et x L, 1, x,…, x^n sont nécessairement des vecteurs liés du K-ev L), mais une extension algébrique n'est pas nécessairement finie, par exemple si on prend L = l'ensemble des complexes algébriques (sur ), L est une extension algébrique de mais pas de dimension finie sur : sinon le raisonnement que j'ai fait ci-dessus montrerait que tous les complexes algébriques ont leur polynôme minimal de degré inférieur ou égal à n = [L:;)], or il existe des polynômes irréductibles sur (dont les racines complexes sont donc dans L et ont pour polynôme minimal ce polynôme) de degré d pour tout entier d strictement positif.

Je comprends bien le concept d'extention algébrique sur Q. Mais que veux dire une extention finie?

Si K est un corps et L est une extension de K, on dit que L est une extension finie de K si [L:K] < + .

Une extention algébrique n'est-elle pas automatiquement une extention finie?

Non c'est l'inverse, cf ci-dessus.

Finalement, si on veut montrer que K est un corps de nombres, sachant facilement montrer qu'il est algebrique sur Q, comment montre-t-on qu'il est d'extention "finie"?

Dans l'exemple que tu donnes c'est plus facile de montrer que K est une extension finie de que de montrer que c'est une extension algébrique.

[Gros Caramel]

Donc si je comprends bien, le fait de démontrer que K est algébrique sur Q ne démontre pas que K est un corps de nombre puisqu'il reste encore à démontrer que K est une extention finie de Q.

Cependant, si on montre que [K:Q] =2, cela implique que K est algebrique sur Q.

merci,
GC