Question toute bete sur les séries

[benj3850]

bonjour a tous !

voila j'ai une question (qui peut paraitre bete) mais je n'arrive pas ! lol
comment montrer que f(teta) = la somme de n=1 à +00 de cos(n*teta)/(n*2^n) est dérivable sur R ?

merci beaucoup d'avance pour votre réponse

[nox]

La somme de fonctions dérivables est dérivable :D

[benj3850]

il me semblait bien que c'etait tout con ! :D
merci bien :)

[abel]

il y a qud meme un passage a la limite à négocier

[murray]

exact: une somme infinie de fonctions dérivables n'est pas forcément dérivable

ex: 1/(1-x)= somme(x^n) n allant de 0 à l'infini.

Je crois que tu as dans ton cours un théoréme de dérivation des séries de fonctions qui te donnes la réponse. Si je me souviens bien, il doit y avoir convergence uniforme sur tout compact de la série dérivée

[quinto]

exact: une somme infinie de fonctions dérivables n'est pas forcément dérivable

ex: 1/(1-x)= somme(x^n) n allant de 0 à l'infini.

Cette fonction est bien dérivable dans l'intérieur de son disque de convergence...

Je crois que tu as dans ton cours un théoréme de dérivation des séries de fonctions qui te donnes la réponse. Si je me souviens bien, il doit y avoir convergence uniforme sur tout compact de la série dérivée

Attention tout de même, ce n'est pas une condition nécessaire, cette condition est suffisante.
Ici on peut conclure de plusieurs façons, la plus simple étant de dire que chacune des fonctions est dérivable au sens complexe partout sur C, et que la limite de telles fonctions en est encore une, mais c'est utiliser un canon pour tuer une mouche, comme diraient certains...
Il est clair que Re est une fonction continue.
Ainsi Re(limite)=limite(Re)
Il est clair que cos(nt)=Re(exp(int))
Ainsi la somme des cos(nt)/(n2^n)= Re(somme des exp(int)/(n2^n))
il est clair également que exp(int)=e^(int) et ainsi
exp(int)/2^n= (e^(it)/2)^n
Posons X=(e^[it])/2
La série entière X^n/n est facilement "calculable" mais c'est inutile pour nous, et vu que c'est une série entière, elle est également clairement dérivable à l'intérieur de son disque de convergence (disque de centre 0 et de rayon 1).
Soit S(X) cette série entière.
La série que tu étudies n'est rien d'autre que S(exp(it)/2) comme déjà remarqué.
Il est clair que |exp(it)|/2 S(exp(it)/2) est dérivable comme composée de deux fonctions dérivables.
J'espère ne pas avoir fait d'erreur(s) et avoir répondu à ta question.
On montrererait exactement de la même manière que cette série est aussi régulière qu'on le voudrait.

Amicalement,
Quinto

[quinto]

Pardon, j'ai dit une bétise.
J'ai étudié S(exp(it)) mais comme je l'annoncais, on cherchait en fait sa partie réelle, mais c'est assez évident je pense, de faire la transition.
A+

[quinto]

Sinon une autre façon de procéder serait de connaître les résultats de base sur les séries de Fourier, ce que l'on a ici.

[quinto]

Notons quand même qu'ici la convergence uniforme sur tout compact est triviale, puisque la série converge normalement.
Je voulais juste proposer des alternatives :)
a+

[benj3850]

wao tants de réponses :D lol
merci bien a tous !

[nox]

hmm oui j'avais oublié ca ^^

j'ai comme l'impression que je suis pas très performant aujourdhui :ptdr:

jme replongerai dans mes cours de bac+1 à bac+4 à l'occasion :p

merci pour ce rafraîchissement de mémoire en tout cas :we:

[Chimomo]

Comme le dit Quinto il n'y a pas à s'embeter quand même, la série dérivée converge normalement, donc la fonction est dérivable.

[sebi]

coucou

en fait si tu a vu la théorie de la mesure, ou vu les familles c'est un cas particulier.

en fait pour avoir somme n de 0 à 00 de fn ou fn est une fonction réelles, il faut qu'il y est convergence normale, cad majorer fn(x) par un coef an ou la suite (an) est absolument convergente.
De meme pour la dérivée de fn. Dans ce cas, on dérivé la série.

remarque: cv normale=>cv uniforme car R est un espace complet