Question de topologie

[lanapurna16]

Bonjour voila j'ai une question :

en général en topologie on me demande souvent de montrer que quelque chose est ouvert ou fermé : par exemple montrer que l'ensemble des points d'accumulation de A ( A étant une partie de E) est fermé ou bien soit f une fonction continue, montrer que { x appartient à E : f(x) = 0 } est fermé .
Meme en connaissant la définition d'un fermé je n'arrive pas a comprendre comment mon prof a démontré ca .
Y à t'il un méthode bien précise que je pourrais utiliser chaque fois pour montrer que quelque chose est ouvert ou fermé ?

je vous remercie :)

[arnaud32]

tu peux toujours revenir a la definition de ta topologie

une topologie est determinee par l'ensemble de ses ouverts (les fermes etant juste les complementaires des ouverts)
les ouverts doivent alors verifier les conditionssuivantes
X et vide sont ouverts
une union d'ouvert est un ouvert
une intersection finie d'ouverts est un ouvert.

[Skullkid]

Salut, il n'y a pas vraiment de méthode générale pour montrer qu'une partie est fermée. Tu peux revenir à la définition de base (montrer que le complémentaire est un ouvert), mais si tu fais de la topologie métrique, par exemple, la définition à utiliser, qui est peut-être celle qu'on t'a donnée, c'est "une partie F de E est fermée si et seulement si toute suite d'éléments de F qui converge dans E converge dans F". Avec cette dernière définition, pour montrer que F est fermée, tu prends une suite quelconque d'éléments de F qui converge vers un élément de E, et tu montres que cet élément appartient à F.

Après, il y a aussi des théorèmes qui peuvent être utiles. Par exemple, "f de E dans F est continue si et seulement si l'image réciproque de tout fermé de F est un fermé de E", qui sert pour ton deuxième exemple : {x de E / f(x) = 0} est l'image réciproque de l'ensemble {0} par une fonction continue. Donc si {0} est fermé dans l'ensemble d'arrivée, tu as ton résultat.

[lanapurna16]

skullkid : jr vais peut etre paraitre stupide en posant cette question mais comment sait tu que {x de E / f(x) = 0} est l'image réciproque de l'ensemble {0} du cou comment aurait tu fais pour savoir l'image réciproque si jamais on avait eu quelque chose de différent ? ca aurait pu etre 2 par exemple ?

[arnaud32]

c'est quoi la definition de l'image reciproque d'un ensemble?

[lanapurna16]

du cou j'ai une autre question aussi :
soit [E,d) un espace métrique de E² de l'espace métrique produit. la diagonale de E² est l'ensemble : delta = {(x,x) appartient à E² ; x appartient à E}
dans ce cas la, est ce que on peut utiliser la définition : f appartient à E dans F est continue si l'image .....?

[lanapurna16]

arnaud 32 : effectivement .. en voyant la def de l'image réciproque oubliez ce que j'ai dit ^^. du cou dans mon autre exemple delta est il égal à f-1(E)?

[Skullkid]

du cou j'ai une autre question aussi :
soit [E,d) un espace métrique de E² de l'espace métrique produit. la diagonale de E² est l'ensemble : delta = {(x,x) appartient à E² ; x appartient à E}
dans ce cas la, est ce que on peut utiliser la définition : f appartient à E dans F est continue si l'image .....?

Pour utiliser ce théorème (ou cette caractérisation, mais ce n'est pas une définition), il faut que trouves une fonction f continue de E² dans un ensemble F telle que la diagonale de E² soit l'image réciproque d'un fermé de F. Vois-tu une telle fonction ?

[lanapurna16]

non je vois pas vraiment :S j'ai beaucoup de mal a comprendre les chose car je trouve cette matière tres abstraite

[Skullkid]

Si tu ne vois pas, essaye de regarder ailleurs, par exemple du côté de la définition avec les suites.

La caractérisation avec les fonctions continues va plus souvent servir quand tu étudies un ensemble donné sous la forme {objets tels que...}. Quand ton ensemble est donné sous la forme {objets de la forme...}, c'est moins adapté a priori (pas impossible, hein).

[lanapurna16]

ah ok. je te remercie beaucoup