Question theorie des ensembles

[pantadou]

soient A,B et C trois sous ensembles de E. on veut montrer AUB=AnC => B inclus dans A inclus dans C

j'avais pensé a le décomposer,dabord montrer B inclus dans C :
soit x;)B ,si x;)A alors x;) AnC=AuB donc x ;)C
si x n'appartient pas a A alors x;) BuA mais x n'appartient pas a A.or AuB=AnC donc x ;) AnC mais x n'appartient pas a A.donc X;)C, sooit B inclus dans C

mais j'arrive pas a faire l'inclusion réciproque,pouvez vous m'aider?et puis j'ai aussi eu un probleme pour demontrer A inclus dans C...




j'ai aussi un probleme pour un exercice où il faut completer des equivalences où l'appliquation de E dans F est une fonction injective.et A un sous ensemble de E:


y ;) f(A) equivaut à....

x;) f-1(f(A)) (c'est la fonction réciproque de f(A)) equivaut a f(x) ;).....

donc x ;) f-1(f(A)) (fonction reciproque de f(A)) equivaut a qu'il existe y ;)....

f injective equivaut a.....

soit x ;) f-1(f(A)) (fonction reciproque de f(A)).montrer qu'il existe y;)A tel que x=y.en deduire que x;)A

[SimonB]

Bonjour,

Je ne comprends pas tout ce que tu racontes. Mais :

j'avais pensé a le décomposer,dabord montrer B inclus dans C :

est une idée étrange. En effet, tu dois montrer "B inclus dans A" et "A inclus dans C". Une conséquence de ces deux faits est que B est inclus dans C. Mais le montrer ne te donnera rien pour ce que tu dois prouver.

Il faut effectivement décomposer, mais montrer d'abord "B inclus dans A", puis "A inclus dans C" !

Pour ce genre d'exercices, il faut toujours commencer par faire un dessin. On comprend mieux pourquoi les choses marchent !

Après quoi, les preuves commencent toujours par le même rituel. Tu veux montrer "B inclus dans A" ? Tu commences par "Soit x dans B. Montrons que x est dans A." Puis vient la preuve. Mais c'est le minimum exigible de toi.

Je te donne une aide pour la première preuve : si x est dans B, il est dans l'union de A et B, et d'après l'égalité dans l'intersection de A et C. Donc en particulier... (je te laisse compléter, et faire la deuxième inclusion !).

Pour l'exercice d'après, les 4 premières questions ne sont que des définitions. Je te laisse donc te reporter à ton cours... Cependant, l'expression "fonction réciproque de f(A)" est fausse. Je suppose que c'est toi qui l'utilise. Il faut bien comprendre que f(A) désigne un ENSEMBLE, pas une fonction, et il en est de même pour f-1(f(A)). C'est un ensemble, et la notation ne suppose pas que la fonction f est bijective !

Une fois que tu auras fait le minimum de compréhension du cours et pu répondre aux 4 premières questions, on pourra t'aider pour la dernière...

[pantadou]

ok tu peux me dire si c'est ça?

soit x appartient a B.montrons x appartient a A:
si x appartient a B,x appartient a AUB et AnC (car AUB=AnC) donc x appartient a A
si x n'appartient pas a B, x appartient BUA mais x n'appartient pas a B. or AUB=AnC donc x appartient AnC (mais la je suis bloquée )

soit x appartient a A. montrons x appartient a C:
si x appartient a A,x appartient AUB et x appartient a AnC donc x appartient a C
si x n'appartient pas a A,x appartient a AUB mais x n'appartient pas a A.or AUB=AnC donc x appartient a AnC sans que x n'appartienne a A.donc x appartient a C. on a donc A inclus dans C

tu peux m'aider pour l'autre inclusion de la première partie??

[busard_des_roseaux]

Bjr,

vlà quelques formules:


si f est une application de E vers F,
est une application de P(F) vers P(E).

l'application est un foncteur contravariant,ie,
il inverse les morphismes.



si f est injective, elle admet un inverse à gauche


par contravariance, est donc surjective.

si f est surjective, elle admet un inverse à droite


par contravariance, est donc injective.

[SimonB]

Bjr,

vlà quelques formules:

[cut]

C'est bien gentil, mais je ne pense pas que ce genre de subtilités théoriques va aider un étudiant de L1 qui n'a pas l'air de vraiment comprendre les bases !


Pour pantadou maintenant :

Tu n'as PAS besoin d'autre inclusion : tu veux montrer B inclus dans A. Tu n'as qu'à prendre x dans B et montrer que x est dans A. Pas besoin de montrer que si x n'est pas dans B, alors x n'est pas dans A (c'est d'ailleurs faux) ! Si tu comprends bien ce que je viens d'écrire, tu vas te rendre compte que tu as fini l'exercice :happy2:

Et d'autre part :

si x n'appartient pas a A,x appartient a AUB mais x n'appartient pas a A.or AUB=AnC donc x appartient a AnC sans que x n'appartienne a A.donc x appartient a C. on a donc A inclus dans C

est complètement faux. Si x n'est pas dans A, pourquoi x serait dans AUB ? Enfin, (x appartient à AnC) et (x n'appartient pas à A) sont deux phrases contradictoires. AnC, c'est l'ensemble des éléments qui sont dans A ET dans C ! Ne confonds pas l'union et l'intersection !

Bref, comme dans mon premier message, je te conseille vivement de te reporter à ton cours et de le réapprendre...

[pantadou]

ok simonB je crois que j'ai compris merci...

pour le dernier exo... je pense avoir completé juste je te dis ce que j'ai mis....

y ;) f(A) <=> il existe x ;) A tel que y= f(x)

x ;) f-1(f(A)) <=> f(x);) f(A)

donc x ;) f-1(f(A)) <=> il existe y ;) A tel que f(x)=f(y)

f injective <=> pour tout x, x' ;) a l'ensemble E ,f(x)=f(x') entrainant x=x'

par contre pour la dernière " soit x;) f-1(f(A)).montrer alors qu'il existe y;)A tel que x=y.en deduire que x ;) A" je seche un peu...tu peux me mettre sur la piste stp??