Question

par **arniisto** » 20 Oct 2013, 17:02

svp ,comment prouver que si max |f'|<1 alors f est contractante (avec les accroissements finis) ? mercii

par **Sourire_banane** » 20 Oct 2013, 17:06

arniisto a écrit:svp ,comment prouver que si max |f'|<1 alors f est contractante (avec les accroissements finis) ? mercii

Salut,

Ca découle directement de la définition d'une application contractante :
Une application f est dite contractante si elle est k-lipschitzienne avec k dans [0,1[.

par **arniisto** » 20 Oct 2013, 17:07

Sourire_banane a écrit:Salut,

Ca découle directement de la définition d'une application contractante :
Une application f est dite contractante si elle est k-lipschitzienne avec k dans k dans [0,1[.

ouiii comment la rédiger c'est çà le probléme !!

par **Sourire_banane** » 20 Oct 2013, 17:15

arniisto a écrit:ouiii comment la rédiger c'est çà le probléme !!

Ben réfléchis un peu.

Considérons que l'on travaille dans une région D de R.
Hypothèse : max_D|f'| < 1
Montrons que pour tout couple (x,y) dans D², on a |f(x)-f(y)| < k|x-y| avec k < 1
Formule maintenant plus clairement l'hypothèse.

par **arniisto** » 20 Oct 2013, 17:20

Sourire_banane a écrit:Ben réfléchis un peu.

Considérons que l'on travaille dans une région D de R.
Hypothèse : max_D|f'| < 1
Montrons que pour tout couple (x,y) dans D², on a |f(x)-f(y)| < k|x-y| avec k < 1
Formule maintenant plus clairement l'hypothèse.

Le théorème dit qu'il existe c\in]x,y[ tel que
f(x)-f(y)=f'(c)(y-x). et aprés ?

par **Sourire_banane** » 20 Oct 2013, 17:22

arniisto a écrit:Le théorème dit qu'il existe c\in]x,y[ tel que
f(x)-f(y)=f'(c)(y-x). et aprés ?

Ca manque gravement de sens ce que tu dis.
Quel théorème ? Quelles sont les hypothèses de fonctionnement du théorème concerné ?

par **arniisto** » 20 Oct 2013, 17:28

Sourire_banane a écrit:Ca manque gravement de sens ce que tu dis.
Quel théorème ? Quelles sont les hypothèses de fonctionnement du théorème concerné ?

on parle du thm des accroissements finis
on veut montrer que si max F' <1 alors f est contractante mais en utilisant le thm

par **Sourire_banane** » 20 Oct 2013, 17:41

arniisto a écrit:on parle du thm des accroissements finis
on veut montrer que si max F' <1 alors f est contractante mais en utilisant le thm

Ne t'inquiète pas j'ai compris.
Par contre tu n'as pas l'air de savoir dans quel chemin aller. Pourtant il est très direct...

par **arniisto** » 20 Oct 2013, 17:42

Sourire_banane a écrit:Ne t'inquiète pas j'ai compris.
Par contre tu n'as pas l'air de savoir dans quel chemin aller. Pourtant il est très direct...

oui je ss rentrée en retard du coup je révise pour rattraper et là y'a cette question qui me perturbe :/

par **Sourire_banane** » 20 Oct 2013, 17:43

Fais-toi un dessin pour comprendre. Que signifie géométriquement qu'une application est Lipschitzienne ?

PS : Modifie le titre s'il-te-plait. Si tout le monde y va du sien et marque que son pb est urgent, on ne s'y retrouvera plus. C'est un peu embétant d'être obligé d'aller voir dans un topic pour savoir ce que l'on va y trouver.

par **arniisto** » 20 Oct 2013, 18:03

Sourire_banane a écrit:Fais-toi un dessin pour comprendre. Que signifie géométriquement qu'une application est Lipschitzienne ?

PS : Modifie le titre s'il-te-plait. Si tout le monde y va du sien et marque que son pb est urgent, on ne s'y retrouvera plus. C'est un peu embétant d'être obligé d'aller voir dans un topic pour savoir ce que l'on va y trouver.

donc on a |f(x)-f(y)|=|f'(c)| |x-y|

et |f'(c)|<= max|f'| du coup |f(x)-f(y)|<= |x-y| max |f'|
et on par hyp max|f'|<1 donc max|f'| joue le rôle de la constante et f est contractante
c'est çà ?

par **Sourire_banane** » 20 Oct 2013, 18:10

arniisto a écrit:donc on a |f(x)-f(y)|=|f'(c)| |x-y|

et |f'(c)|<= max|f'| du coup |f(x)-f(y)|<= |x-y| max |f'|
et on par hyp max|f'|<1 donc max|f'| joue le rôle de la constante et f est contractante
c'est çà ?

Précise :
Comme f est continue et dérivable (sauf peut-être aux bords) sur ton intervalle D, soient a et b les bornes de D.
Alors ici, pour tout intervalle [x,y] (ou [y,x], mais cela revient au même grâce aux valeurs absolues) inclu dans [a,b], il existe un réel (disons d) appartenant à cet intervalle tel que |f'(d)|=|f(x)-f(y)|/|x-y|
Comme e=|f'(d)| < max_[a,b]|f'|, alors... ?

par **arniisto** » 20 Oct 2013, 18:11

Sourire_banane a écrit:Précise :
Comme f est continue et dérivable (sauf peut-être aux bords) sur ton intervalle D, soient a et b les bornes de D.
Alors ici, pour tout intervalle [x,y] (ou [y,x], mais cela revient au même grâce aux valeurs absolues) inclu dans [a,b], il existe un réel (disons d) appartenant à cet intervalle tel que |f'(d)|=|f(x)-f(y)|/|x-y|
Comme e=|f'(d)| < max_[a,b]|f'|, alors... ?

donc en rajoutant tes précisions , mon raisonnement est juste ?

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