Question sur la théorie des ensembles

[Guillermo]

Dans un livre d'exercices, je dois prouver la formule suivante :
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Je n'arrive pas à la prouver. En plus, je crois que cette formule est fausse puisque, par exemple, si x ∈ A ∪ (B ∩ C), x ne peut pas appartenir à la fois à A et à B sans appartenir aussi à C, tandis que, si x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), x peut très bien appartenir à la fois à A et à B sans appartenir aussi à C.
Merci beaucoup pour votre aide,
Guillermo

[Ben314]

Salut,

...si x ∈ A ∪ (B ∩ C), x ne peut pas appartenir à la fois à A et à B sans appartenir aussi à C...

? ? ? ? ? ?
Visiblement, il y a un truc que tu as pas compris dans la définition de ce qu'est l'intersection ou la réunion de deux ensembles :
Si un x appartient à la fois à A et à B alors il est forcément dans A ∪ (B ∩ C) vu qu'il est dans A.
Et ça n'implique bien sûr absolument rien concernant son éventuelle appartenance à C.

[Guillermo]

Effectivement je n'avais pas compris.
Par contre j'ai compris la démonstration de la formule A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) :
Soit x ∈ A ∩ (B ∪ C).
Donc x ∈ A et x ∈ (B ∪ C). (les "ou" de la ligne suivante sont exclusifs)
Donc x ∈ A et x ∈ B ou x ∈ A et x ∈ C ou x ∈ A et x ∈ B et x ∈ C.
Donc x ∈ A ∩ B ou x ∈ A ∩ C ou x ∈ A ∩ B et x ∈ A ∩ C.
Donc x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Donc tous les éléments de A ∩ (B ∪ C) sont aussi dans (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Donc A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Similairement, on trouve (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C).
Donc A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Par contre, je n'arrive pas à trouver la preuve avec cette méthode de la formule A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)... c'est là que je coïnce.
Merci en tout cas beaucoup pour ton aide !

[Ben314]

Quand tu met des "et" et des "ou" dans une même phrase, tu as intérêt à mettre des parenthèses vu qu'il n'y a pas vraiment de règle archi. standardisée concernant qui est prioritaire sur qui et que "A et (B ou C)", c'est pas la même chose que "(A et B) ou C".

Sinon, concernant A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), c'est à peu prés pareil que pour l'autre.
: si x est dans A ∪ (B ∩ C) alors
- ou bien il est dans A et dans ce cas, il est à la fois dans (A ∪ B) et dans (A ∪ C) donc il est dans (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
- ou bien (inclusif) il est dans (B ∩ C) c'est à dire à la fois dans B et dans C. Dans ce cas, comme il est dans B, il est dans (A ∪ B) et, comme il est dans C, il est dans (A ∪ C). Donc il est bien dans (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Donc, dans tout les cas, x est dans (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
: si x est dans (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) alors il est dans (A ∪ B) et aussi dans (A ∪ C).
- s'il est dans A, alors il est bien dans A ∪ (B ∩ C).
- s'il n'est pas dans A, vu qu'il est dans (A ∪ B), c'est qu'il est forcément dans B. De même, vu qu'il est dans (A ∪ C) mais pas dans A, il est forcément dans C. Il est donc dans (B ∩ C) et donc dans A ∪ (B ∩ C).
Donc, dans tout les cas, x est dans A ∪ (B ∩ C).

[Guillermo]

Merci pour ta réponse détaillée ! J'ai tout compris