Question sur un résultat de sous-suite convergente

[PythagoreSauvage]

Bonjour à tous. J'ai du mal avec la preuve d'un résultat de convergence d'une suite sur E, lorsque E est un espace complet, ( désigne une distance sur E)



Je ne comprends pas pourquoi on peut écrire à la dernière ligne, que
J'imagine qu'il faut essayer de "raccrocher" à quelque chose de la forme ou bien utiliser une propriété sur les espaces complets, en partant de



mais je ne vois pas trop comment conclure.

Merci d'avance pour y réfléchir

[L.A.]

Bonjour,

je ne sais pas si tu as remarqué que la suite est recouverte par cette famille de p suites extraites .
Il n'y a donc pas besoin de "raccrocher" , car EST de la forme pour un certain couple
(où k et r sont le quotient et le reste de n dans la division par p).

[PythagoreSauvage]

Je ne vois toujours pas.

Si on considère la division euclidienne de par il existe tel que on a certes mais pour conclure il faudrait que non ?

[PythagoreSauvage]

Ah j'ai ! (peut-être). Puisque et alors et on a bien ce qu'on veut

[L.A.]

Oui tout à fait, on peut choisir N aussi grand qu'on veut, et il n'y a qu'un nombre fini de conditions à satisfaire de toute façon.

[PythagoreSauvage]

Merci !