Question sur la pression

[RocketsDreamer]

Bonjour, j’ai un souci pour réussir. Voici la donnée :

Une bille en acier (masse volumique =7850 kg/m3) placée dans une soupape de sureté a un diamètre de 10 mm. Le ressort est précontraint de 5mm et sa constante de raideur est de 78N/mm. A quelle pression s’ouvre la soupape si la bille en acier bouche la soupape avec 1/3 de sa surface ?

Je vois que je peux calculer la force du ressort en faisant: F=kd

Je vois aussi comment calculer la surface en faisant pi fois r au carré. Par contre je comprends pas pourquoi j’ai une masse volumique et pourquoi on me dit que ça bouche 1/3 de sa surface … en quoi ces données vont m’aider à trouver la réponse ?

Pouvez vous m’aider s’il vous plaît ? Merci beaucoup d’avance !!

[Black Jack]

Bonjour,

La masse volumique est là pour calculer le poids de la bille ... et voir si il est ou non négligeable devant la force exercée par le ressort.

Si c'est le cas, on peut négliger l'effet du poids de la bille dans les calculs, sinon, on sera obligé de connaître la direction et le sens de la soupape pour tenir compte de l'effet du poids de la bille.

Sauf erreur, on trouve bien que le poids de la bille < < F ressort (et donc on pourra négliger l'effet du poids)
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La pression interne ne s'applique que sur 1/3 de la surface de la bille ... mais la surface à prendre en considération est celle du trou.

Il faut donc calculer le diamètre du trou ... et en déduire la section utile pour le calcul de la force due à la pression interne.

Sauf erreur, on trouve que l'aire du trou est S = 200.Pi/9 mm²

On trouve encore : F ressort = 390 N
F1 = 8N la force sur la bille par l'air externe. (dans les conditions normales de température et de pression)
Poids de la bille = 0,04 N ... donc on le néglige dans le bilan des forces extérieure.

La force (ressort + air extérieur) qui tente de garder la soupape fermée est F = 398 N

Pour que la soupape s'ouvre, il faut que la pression absolue interne agissant sur une surface utile de 200.Pi/9 mm² équilibre la force extérieure de 398 N

Sauf erreur, cette pression est de 57 bars.
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Voila essaie (en tenant compte que je n'ai pas vérifié mes calculs).

[tournesol]

bouche la soupape avec 1/3 de sa surface doit être précisé: si il s'agit de 1/3 de sa section (disque de 10 mm de diamètre) c'est une réponse facile mais s'il s'agit du 1/3 de la surface sphérique (4 pi x 100), c'est un tout autre pb .

[Black Jack]

Bonjour,

Pour moi, c'est 1/3 de sa surface sphérique ... ce qui n'est pas très compliqué en Supérieur.

1/3 de la surface sphérique = 4/3.Pi*R²

Et l'aire d'une calotte sphérique est A = 2Pi*R*h (avec h la "hauteur" de la calotte)

4/3.Pi*R² = 2Pi*R*h
h = 2R/3

et avec r le rayon de la section bouchée : Pythagore --> r² + (R-h)² = R²
r² + (R/3)² = R²
r² = R²(1 - 1/9) = 8R²/9

Donc la section S du "trou" est S = Pi*r² = 8Pi/9 * R²

Et comme R = 5 mm --> S = 8Pi/9 * 25 = 200.Pi/9 mm²