Question sur les vecteurs propres

[Sabrina351]

Bonjour à tous,je viens ici car j'ai des questions s sur les matrices ces temps-ci,notamment sur les vecteurs propres.
J'ai pas trop compris comment trouver des vecteurs propres à partir d'une matrice ou d'un système d'équation.
(En physique,mais ça reste des maths les vecteurs).

[Mimosa]

Bonjour

Ton calcul de déterminant est faux. De toute évidence tu dois trouver un polynôme de degré 3 en .

[pascal16]

attention :
ton polynome caractéristique doit être de degré 3 (le même que la matrice)
il n'y a pas d'ordre dans le valeurs propres, ce que tu appelles λ1 peut être λ2 pour une autre personne
les vecteurs propres eux sont bien liés à la valeur de la valeur propre
λ2 ne vaut pas 2

vérif à la calculette
1 est vap double : donc 2 vep à trouver (*)
4 est vap simple : 1 vep associé, c'est bien (1,1,1) par exemple

(*) donc tout couple de vecteur qui engendre le même sous espace vectoriel est candidat.
la calculette donne (-2,1,1) et (0,1,-1) par exemple mais (-2,1,1) et (-1,1,0) marchent aussi, (0,-1,1) et (-1,1,0) aussi, j'ai juste remplacé le second par une combinaison linéaire.
dis-nous ce que tu fais comme calculs, on va te guider

[Sabrina351]

Ah oui désolé c'était bien (Lamba-1)^2 donc après on obtient bien un degré 3.
Désolé pour ma réponse tardive.
Alors pour la première matrice j'ai fais C1<-C1+C2+C3 puis L1<-L1-L3 il me semble ce qui donnais (4-Lamba)(1-Lambda)^2.
Après même si c'est utilisé en physique je pense que comme vous dite on peut prendre n'importe quel vecteur propre qui engendre le même sous espace .
Concernant la seconde matrice je fais la même chose bien que j'aurai pu faire C1-C3 au lieu de L1-L3 mais je trouve (1-lamba)(2+Lambda) donc deux valeurs propre 1 et -2.

[aviateur]

bjr, C'est pas possible pour ton deuxième système. Je ne sais pas ce que tu as fabriqué: en effet,
pour le système 1 tu as trouvé 3 valeurs propres 4,1,1 (ordre de multiplicité inclus .)

Mais la deuxième matrice c'est la première -5 fois l'identité donc tu dois trouver
(-1,-4,-4)

[Sabrina351]

Pour la seconde matrice,je trouve le système posté en bas de la photo,et comme vecteurs propre(1,3/2,3/2) pour "(2+lambda)" par exemple,je sais pas si c'est le plus simple.
Pour "(1-lambda)" le vecteur propre le plus simple c'est (1,1,1) ,mais (2,2,2) (3,3,3)...sont bons aussi.

[pascal16]

pour la VAp 1.

on cherche à résoudre
MX=1*X
soit
2x+y+z=x
x+2y+z=y
x+y+2z=z

soit trois fois la même équation : x+y+z=0.
si on impose x=0, on a y=-z soit le vecteur propre (0,1,-1) par exemple
si on impose z=0, on a y=-x soit le vecteur propre (-1,1,0) par exemple
les deux vecteurs sont indépendants, il engendrent bien un sseev de dimension 2.

et je le rappelle, 2 n'est pas vap, on a 1 et 4 comme vap

[aviateur]

Il faut d'abord être sûr que l'on parle de la m^me chose. Ta seconde matrice c'est. ((-3,1,1),(1,-3,1),(1,1,-3))?

[aviateur]

Bon je retire ma question, en fait tu n'a qu'une seule matrice et tu cherches à trouver les vecteurs propres!!

Bon, alors il y a une chose que tu dois savoir c'est que pour la valeur propre égale à 4,
tu dois retrouver un vecteur propre orthogonal aux deux vecteurs propres que tu as trouvés pour la vp=1.
au moins ça te servira à vérifier si tes calculs sont bons.

[Sabrina351]

bjr, C'est pas possible pour ton deuxième système. Je ne sais pas ce que tu as fabriqué: en effet,
pour le système 1 tu as trouvé 3 valeurs propres 4,1,1 (ordre de multiplicité inclus .)

Mais la deuxième matrice c'est la première -5 fois l'identité donc tu dois trouver
(-1,-4,-4)

Mince alors,ma seconde matrice c'est celle tout en bas en vert,(-1-lambda...)
J'ai fais C1<-c1+c2+c3 puis L1<-L1-L3 pour trouver (1-lambda)(2+Lambda) comme déterminant

[Sabrina351]

Bon je retire ma question, en fait tu n'a qu'une seule matrice et tu cherches à trouver les vecteurs propres!!

Yen a bien deux,la deuxième étant à la fin de la feuille,juste après le système d'équation elle est en vert.
Dsl j'avou que c'est pas clair ^^

[aviateur]

Oui là je suis perdu. Mais si j'ai bien compris si on appelle A ta première matrice.

Il me semble que ta matrice en vert c'est A-3 I (I est la matrice identité) .
C'est à dire qu'il y a des -1 dans la diagonale. ??

Si c'est bien cela alors je te conseille de bien faire les calculs pour ta première matrice A.

Pourquoi cela. Parce que pour cette matrice les calculs sont complètement analogues et mieux que ça on a le résultat sans faire calculs et je peux expliquer cela mais après l'étude complète de A.

[pascal16]

pour la matrice verte (pleine de 1 avec des -1 sur la diagonale)
n'oublie pas le carré, le déterminant en lambda est de degré 3.
(1-lambda)(2+Lambda)²

la calculette donne
vap: 1;-2;-2
vep pour 1 : (1;1;1)
vep pour -2 : (-2;1;1) et (0;1;-1)

[Sabrina351]

Oui là je suis perdu.

La matrice en question c'est une matrice3*3 pleine de 1 sauf que tu a( -1-a) sur toute la diagonale (gauche).

[Sabrina351]

Oui là je suis perdu. Mais si j'ai bien compris si on appelle A ta première matrice.

Il me semble que ta matrice en vert c'est A-3 I (I est la matrice identité) .
C'est à dire qu'il y a des -1 dans la diagonale. ??

Si c'est bien cela alors je te conseille de bien faire les calculs pour ta première matrice A.

Pourquoi cela. Parce que pour cette matrice les calculs sont complètement analogues et mieux que ça on a le résultat sans faire calculs et je peux expliquer cela mais après l'étude complète de A.

D'accord je suivrai ton conseil,en fait Pascal et mon on a trouver les valeurs propres et vecteurs propres pour la A.
Tu pense qu'il faut se servir de la matrice identité on dirai

c'est la seconde matrice

[Sabrina351]

pour la matrice verte (pleine de 1 avec des -1 sur la diagonale)
n'oublie pas le carré, le déterminant en lambda est de degré 3.
(1-lambda)(2+Lambda)²

la calculette donne
vap: 1;-2;-2
vep pour 1 : (1;1;1)
vep pour -2 : (-2;1;1) et (0;1;-1)

Oui je tacherai de ne pas oublier,j'ai fais une gaffe.
Les vecteurs propre de ta calculette sont bons.
On peu trouver aussi trouver (1,0-1) ou (2,0,-2) etc...
avec x+y+z=0 (*3) comme système de 3 équations

[aviateur]

De toute façon si j'ai bien compris il s'agit de chercher les valeurs propres et vecteurs propres correspondant de matrices qui sont toute de la forme M_a=(a,1,1)(1,a,1),(1,1,a)). Normalement on trouve tout sans calcul mais plutôt avec un raisonnement.
En effet M_1=(1,1,1)(1,1,1),(1,1,1)) est de rang 1. donc 0 est valeur propre double.
Mais comme la trace de M_1=3 alors la valeur propre manquante est 3.
De plus c'est facile de voir que v_3=(1,1,1) est vecteur propre pour 3.

La matrice étant symétrique Le sous espace propre associé à 0 est orthogonal à v_3.
Donc on peut prendre v_1=(1,-1,0) et v_2=(0,1,-1).

C'est fait pour a=1.

Mais aussi pour a quelconque. En effet M_a=M_1+(a-1)I_3.

Donc les valeurs propres de M_a sont 0+(a-1)=a-1 (valeurs propres double) et 3+(a-1)=a+2 et les vecteurs propres sont inchangés.

[pascal16]

Les vecteurs propre de ta calculette sont bons.

J'ai créé une formule magique pour que la calculette me donne des résultats justes.