Question sur les nombres complexes
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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stocke
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par stocke » 13 Fév 2015, 16:06
Bonjour,
je voudrais juste savoir si lorsque deux complexes Z1 et Z2 ont leurs carrés égaux :
Z1²=Z2²
cela implique que leurs modules sont égaux aussi ?
Après des petits tests ça a l'air d'être vrai, mais je n'arrive pas à le prouver mathématiquement.
J'ai essayé la méthode suivante :
Z1=a1+i*b1 et Z2=a2+i*b2
si leurs carrés sont égaux alors :
a1²-b1² = a2²-b2² (1)
et
a1*b1=a2*b2 (2)
si leurs modules sont égaux, alors :
a1²+b1² = a2²+b2² (3)
j'ai essayé de partir de (1) et (2) pour retrouver (3), mais je n'arrive pas à retomber sur la bonne expressions
J'ai essayé aussi de voir si c'était faux en cherchant des contre exemples, mais je n'en ai pas trouver
merci de votre aide
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arnaud32
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par arnaud32 » 13 Fév 2015, 16:15
passe en notation module argument
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mathelot
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par mathelot » 13 Fév 2015, 16:19
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arnaud32
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par arnaud32 » 13 Fév 2015, 16:24
sinon
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chan79
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par chan79 » 13 Fév 2015, 16:39
stocke a écrit:Bonjour,
je voudrais juste savoir si lorsque deux complexes Z1 et Z2 ont leurs carrés égaux :
Z1²=Z2²
cela implique que leurs modules sont égaux aussi ?
Après des petits tests ça a l'air d'être vrai, mais je n'arrive pas à le prouver mathématiquement.
J'ai essayé la méthode suivante :
Z1=a1+i*b1 et Z2=a2+i*b2
si leurs carrés sont égaux alors :
a1²-b1² = a2²-b2² (1)
et
a1*b1=a2*b2 (2)
si leurs modules sont égaux, alors :
a1²+b1² = a2²+b2² (3)
j'ai essayé de partir de (1) et (2) pour retrouver (3), mais je n'arrive pas à retomber sur la bonne expressions
J'ai essayé aussi de voir si c'était faux en cherchant des contre exemples, mais je n'en ai pas trouver
merci de votre aide
salut
on suppose
a1²-b1² = a2²-b2² (1)
et
a1*b1=a2*b2 (2)
on élève (1) au carré
a1;)-2a1²b1²+b1;)=a2;)-2a2²b2²+b2;)
d'après (2) en ajoutant 4a1*b1 ou 4a2*b2 de chaque côté
a1;)+2a1²b1²+b1;)=a2;)+2a2²b2²+b2;)
soit
(a1²+b1²)²=(a2²+b2²)²
on peut en déduire
a1²+b1²=a2²+b2²
mais c'est bien-sûr plus simple d'écrire
si z²=z'² alors |z²|=|z'²| et donc |z|²=|z'|² puis |z|=|z'|
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emdro
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par emdro » 13 Fév 2015, 16:45
Bonjour,
on peut aussi dire :
ou
.
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Robic
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par Robic » 13 Fév 2015, 18:59
S'il faut détailler :
et on continue le raisonnement d'emdro. Comme ça on a placé une identité remarquable en prime...
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zygomatique
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par zygomatique » 13 Fév 2015, 20:31
salut
la réponse est triviale lorsqu'on sait que
....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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stocke
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par stocke » 16 Fév 2015, 10:07
chan79 a écrit:salut
on suppose
a1²-b1² = a2²-b2² (1)
et
a1*b1=a2*b2 (2)
on élève (1) au carré
a1;)-2a1²b1²+b1;)=a2;)-2a2²b2²+b2;)
d'après (2) en ajoutant 4a1*b1 ou 4a2*b2 de chaque côté
a1;)+2a1²b1²+b1;)=a2;)+2a2²b2²+b2;)
soit
(a1²+b1²)²=(a2²+b2²)²
on peut en déduire
a1²+b1²=a2²+b2²
mais c'est bien-sûr plus simple d'écrire
si z²=z'² alors |z²|=|z'²| et donc |z|²=|z'|² puis |z|=|z'|
merci pour la démo, je n'avais pas penser à passer par les carrés
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mathelot
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par mathelot » 16 Fév 2015, 10:19
stocke a écrit:merci pour la démo, je n'avais pas penser à passer par les carrés
autre démo
on conjugue
on multiplie les deux égalité ensemble
comme
est injective sur
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