Question sur les matrices

[Rik95]

Bonsoir,

Quelqu'un pourrai me dire ( ou plutôt me rappeler ) comment on fait pour savoir si une matrice est injective ou surjective ?
Comment faire pour calculer son noyau ?

Merci :)

[Robot]

Bonsoir,

Quelqu'un pourrai me dire ( ou plutôt me rappeler ) comment on fait pour savoir si une matrice est injective ou surjective ?
Comment faire pour calculer son noyau ?

Merci

On échelonne la matrice, ça nous donne son rang. Ca permet de répondre à la question de l'injectivité ou de la surjectivité de l'endomorphisme dont on a la matrice.
Le noyau de l'endomorphisme se calcule en résolvant le système linéaire homogène donné par la matrice. Si l'on a déjà échelonné la matrice selon les lignes, la résolution de ce système est quasi immédiate.

Tu veux traiter un exemple ?

[aymanemaysae]

Vous trouverez ici une source qui étanchera votre soif de savoir.

Une petite remarque: je crois qu'on parle d'une application injective, surjective, ..... et non d'une matrice injective, surjective, ..... . On parle d'une matrice d'une application!

[Rik95]

On échelonne la matrice, ça nous donne son rang. Ca permet de répondre à la question de l'injectivité ou de la surjectivité de l'endomorphisme dont on a la matrice.
Le noyau de l'endomorphisme se calcule en résolvant le système linéaire homogène donné par la matrice. Si l'on a déjà échelonné la matrice selon les lignes, la résolution de ce système est quasi immédiate.

Tu veux traiter un exemple ?

Merci pour ta réponse rapide , Oui je veux bien essayer, cela me permettrai de bien comprendre la chose ^^

Par exemple pour cette matrice :

-2 -5 1
1 2 3
1 10 2

Sa forme échelonnée réduite me donne la matrice identité I3 :
1 0 0
0 1 0
0 0 1

D'après ce que j'ai lu, le rang d'une matrice est égale au nombre de ligne qui sont nulle après l'avoir échelonnée ... ici li n'y en a pas donc son rang est nul ?

A partir de là selon quel critère je peu savoir si elle est injective ou surjective ?

Pour le noyau si j'ai bien compris, je dois résoudre le système M.X = 0 ?

[Robot]

D'après ce que j'ai lu, le rang d'une matrice est égale au nombre de ligne qui sont nulle après l'avoir échelonnée ... ici li n'y en a pas donc son rang est nul ?
A partir de là selon quel critère je peu savoir si elle est injective ou surjective ?

Tu as très mal lu, ou tu as de très mauvaises lectures. N'as-tu pas un bon cours à ta disposition ? Vu le genre de lacunes que tu as, ça me semble absolument indispensable.
Le rang est égal au nombre de lignes non nulles quand on a échelonné suivant les lignes, c.-à-d. au nombre de pivots.
Un endomorphisme est injectif si et seulement si son rang est égal à la dimension de l'espace de départ (ce qui revient à dire que son noyau est réduit à {0} par le théorème du rang). Il est surjectif si et seulement si son rang est égal à la dimension de l'espace d'arrivée (ce qui revient à dire que l'image est égale à l'espace d'arrivée ; rappel : le rang est la dimension de l'image).

Pour le noyau si j'ai bien compris, je dois résoudre le système M.X = 0 ?

Oui, et tu obtiens un système équivalent en remplaçant M par sa forme échelonnée réduite (selon les lignes).

[Rik95]

Tu as très mal lu, ou tu as de très mauvaises lectures. N'as-tu pas un bon cours à ta disposition ? Vu le genre de lacunes que tu as, ça me semble absolument indispensable.
Le rang est égal au nombre de lignes non nulles quand on a échelonné suivant les lignes, c.-à-d. au nombre de pivots.
Un endomorphisme est injectif si et seulement si son rang est égal à la dimension de l'espace de départ (ce qui revient à dire que son noyau est réduit à {0} par le théorème du rang). Il est surjectif si et seulement si son rang est égal à la dimension de l'espace d'arrivée (ce qui revient à dire que l'image est égale à l'espace d'arrivée ; rappel : le rang est la dimension de l'image).



Oui, et tu obtiens un système équivalent en remplaçant M par sa forme échelonnée réduite (selon les lignes).

Non pas vraiment :/

Donc ici le rang est égale a 3 de la on peut déduire que le ker est nulle selon le théorème du rang et la matrice est a la fois surjective et injective si on considère qu'elle va de R^3 dans R^3 elle est donc bijective

[Robot]

Oui.
J'insiste pour que tu te procures un cours correct d'algèbre linéaire. Le Grifone n'est pas trop mal. Tu as bien accès à une BU, non ?

[Rik95]

Oui.
J'insiste pour que tu te procures un cours correct d'algèbre linéaire. Le Grifone n'est pas trop mal. Tu as bien accès à une BU, non ?

j'ai trouvé ce cours qui a l'air pas mal http://imbsrv1.epfl.ch/csag/cours/alglin0910/PolycopAlgLin0910.pdf

Sinon pour la résolution de M.X = 0 je trouve x = y = z = 0 donc il n'y a aucun vecteur ce qui confirme que ker(M) = 0

[Robot]

Quelle est ta situation ? Tu n'as pas accès à une BU ?

Ne pas confondre "il n'y a que la solution nulle" avec "il n'y a aucune solution" !

[Rik95]

Quelle est ta situation ? Tu n'as pas accès à une BU ?

Ne pas confondre "il n'y a que la solution nulle" avec "il n'y a aucune solution" !

Si mais malheureusement les livres proposés ne sont pas top ... généralement les pdf que je trouve sur le net sont mieux, en plus on ne peut garder le livre que pour une très courte durée ...

Pourquoi dire qu'il n'y a aucune solution ?

Perso quand je résous le système je trouve x = 0, y = 0, z = 0 ..

[Robot]

Si mais malheureusement les livres proposés ne sont pas top ... généralement les pdf que je trouve sur le net sont mieux, en plus on ne peut garder le livre que pour une très courte durée ...

Tu peux aussi envisager d'investir ...

Pourquoi dire qu'il n'y a aucune solution ?

Ben, c'est toi-même qui le dit. Je te cite : "donc il n'y a aucun vecteur".
Ou alors tu penses que le vecteur nul n'est pas un vecteur ?

[Rik95]

Tu peux aussi envisager d'investir ...


Ben, c'est toi-même qui le dit. Je te cite : "donc il n'y a aucun vecteur".
Ou alors tu penses que le vecteur nul n'est pas un vecteur ?

Je ne peux malheureusement pas me le permettre, là ou je vis les bon livre sont rare et excessivement chère ...

Enfaîte oui, j'ai plutôt compris que (0, 0 , 0) n’était pas un vecteur

[Robot]

Je ne peux malheureusement pas me le permettre, là ou je vis les bon livre sont rare et excessivement chère ...

Alors, je comprends que tu cherches sur internet. Pour le document que tu as trouvé, je ne l'ai pas regardé suffisamment pour donner un avis mais j'ai confiance en au moins une des auteurs.

Enfaîte oui, j'ai plutôt compris que (0, 0 , 0) n’était pas un vecteur

Et tu as tort, car le vecteur nul est bien un vecteur (s'il n'en reste qu'un ce sera celui-la).

[Rik95]

Alors, je comprends que tu cherches sur internet. Pour le document que tu as trouvé, je ne l'ai pas regardé suffisamment pour donner un avis mais j'ai confiance en au moins une des auteurs.


Et tu as tort, car le vecteur nul est bien un vecteur (s'il n'en reste qu'un ce sera celui-la).

D'accord, merci ^^

Dans ce cas pourquoi dire qu'il n'y a pas de solution ? vu que j'ai trouvé le vecteur nul ..

[Ben314]

Dans ce cas pourquoi dire qu'il n'y a pas de solution ?

C'est justement la question qu'on TE pose vu qu'à 22h31 TU as écrit que :

Sinon pour la résolution de M.X = 0 ... donc il n'y a aucun vecteur...