Question sur les espaces vactoriels (sans calculs ???)

[Florix]

Bonjour,

Soit Fm = (x,y,z) € R^3 tel que

| 2x + y – z = 0
| x + my + z = 0
| 3x + y – mz = 0

1/ Comment justifier sans calculs que Fm est un R-espace vectoriel ?

2/ Comment déterminer suivant les valeurs de m la dimension de Fm ? Parce que normalement un espace vectoriel a toujours la même dimension même si on change la variable m non ?

[memphisto]

Car c'est le noyau de l'application linéaire dont la matrice dans la base canonique est donnée par ton système d'équations.

[Florix]

Oulà oula....... :briques:

MErci pour ta réponse memphisto.

Je suis désolé mais je comprends pas le "noyau de l'application linéaire dont la matrice dans la base canonique est donnée par ton système d'équations."

noyau application linéaire ?
matrice ?

[memphisto]

Tu en est où dans ton cours d'algèbre?

[Florix]

Dans mon cours d'algèbre ?

J'ai fini le cours sur les espaces vectoriels de dimension finie !

Mais pas de matrice....

[abcd22]

Bonjour,

Soit Fm = (x,y,z) € R^3 tel que

| 2x + y – z = 0
| x + my + z = 0
| 3x + y – mz = 0

1/ Comment justifier sans calculs que Fm est un R-espace vectoriel ?

Quand on a une équation linéaire (c'est-à-dire de la forme ax + by + cz = 0, avec (a,b,c) différent de (0,0,0)), l'ensemble des solutions est un plan de R^3, donc un sous-espace vectoriel. Fm est donc l'intersection de trois plans, et comme une intersection de sev (= ss-espace vectoriel) est un sev, Fm est un sev de R^3.

2/ Comment déterminer suivant les valeurs de m la dimension de Fm ? Parce que normalement un espace vectoriel a toujours la même dimension même si on change la variable m non ?

L'intersection des 2 premiers plans (2 1e équations) est une droite, car pour que ce soit un plan il faudrait que les 2 équations définissent le même plan, donc qu'il existe un réel a tel que (2,1,-1) = a(1,m,1), ce qui est impossible.
Si la 3e équation peut s'écrire comme combinaison linéaire des 2 premières, les solutions des 2 premières équations sont aussi solutions de la 3e, autrement dit, Fm est égal à une droite (donc de dimension 1).
Sinon, la seule solution est (0,0,0) (la droite « intersection des plans définis par les 2 premières équations » n'est pas incluse dans le plan défini par la 3e équation, l'intersection des 2 est donc un point). Donc la dimension de Fm dépend bien de m...
Tu peux résoudre le système avec la méthode du pivot de Gauss et voir ce que ça donne pour trouver la dimension, vous avez vu le pivot de Gauss pour résoudre les systèmes linéaires ?

[Florix]

Le pivot de Gauss ouais on a vu ça !

Ceci dit je vois pas pourquoi ça s'appelle le pivot de Gauss, puisqu'en fait c'est juste la résolution d'un système. SI j'ai bein compris, le principe du pivot de Gauss est de supprimer les variables dans les équations pour pouvoir trouver les valeurs de x y et z a la fin non ?

En tout cas merci énormement !

PS : l'intersection de 2 SEV est un EV mais l'intersection de 3 SEV n'est pas un EV !

[abcd22]

PS : l'intersection de 2 SEV est un EV mais l'intersection de 3 SEV n'est pas un EV !

Mais si, d'après le théorème général qui dit que « toute intersection de sous-trucs est un sous-truc » :happy2:
Et pour prendre l'intersection de 3 sev tu peux prendre d'abord l'intersection des 2 premiers, puis l'intersection de cette intersection avec le 3e sev.

[Florix]

Ah bon ??? Faut que je relise mon cours alors....

Merci énormement je vais essayer de faire tout ce que tu m'as dit et puis si j'ai un problème je repasserais !

[Florix]

Juste une question stupide : si m = 0, du coup c'est plus une combinaison linéaire ?

[abcd22]

Si, il suffit qu'un des 3 coefficients devant x, y, z soit non nul, sinon ça fait 0 = 0, c'est pas très intéressant...

[Florix]

Oui c'est sur !

En tout cas merci à toi memphisto et puis merci abcd22, parce que entre le bouquin de chinois, les sommes de suite et les espaces vectoriels, tu m'aides beaucoup ! Merci