Salut !
Oui, c'est vrai. Si tu as
vecteurs linéairement indépendant
, avec
, alors l'espace vectoriel
)
est un sous-espace vectoriel de dimension
.
Si tu considère
vecteurs linéairement indépendant de
, tu vas pouvoir engendrer avec un espace vectoriel de dimension
, ce qui est impossible dans
.
Exemple : Dans
, un vecteur non nul est toujours linéairement indépendant et engendre un sous-espace vectoriel de dimension 1 : c'est une droite passant par (0,0,0).
Si tu prends deux vecteurs non nuls linéairement indépendant alors ils engendrent un espace vectoriel de dimension 2 : c'est un plan passant par (0,0,0).
Si tu prends trois vecteurs non nuls linéairement indépendant alors ils engendrent un espace vectoriel de dimension 3 : c'est un l'espace tout entier.
Si tu prends quatre vecteurs non nuls linéairement indépendant alors ils engendrent un espace vectoriel de dimension 4 : c'est impossible d'avoir un sous-espace vectoriel de dimension 4 dans un espace vectoriel de dimension 3 !
De manière générale, quel que soit la famille libre
et la famille génératrice
de ton espace vectoriel
de dimension finie, on a toujours
 \le \dim(E) \le {\rm card}(G))
.
