Question sur automorphisme et extention

[rain]

Bonsoir g une question, si on prend Q(t) une extention algébrique de Q ,et f un automorphisme de Q(t),es-ce que nécessairement f restreint à Q est l'identité? Si c vrai pourriez vous me donner une démo?Merci.

[Nightmare]

Oui !

un automorphisme d'une extension d'un corps k est toujours l'identité sur k !

[rain]

OK merci tu connais pas une démo ou une site où elle pourrait être?

[Nightmare]

pardon, j'avais mal lu la question, la réponse est négative.

Ce qui est vrai par contre c'est qu'étant donné une extension k' algébriquement close d'un corps k , il existe un automorphisme de k' dont la restriction à k est l'identité

[yos]

Si c'est vrai (si le corps de base est premier, et c'est le cas de Q). La preuve est immédiate :
f(1)=1, f(n)=n pour n entier naturel par additivité de f, f(-1)=-1 car et par injectivité, f(-n)=-n, etc.

(et l'extension de Q peut être quelconque, pas forcément algébrique, ni simple).

[Nightmare]

Je ne comprends pas ton raisonnement yos, pourquoi parler d'entiers, Q est quelconque

[Nightmare]

D'accord, je viens de percuter, désolé...

[yos]

Oui c'est l'ensemble des rationnels. Dans un contexte d'extension de corps ya pas photo je pense.
Dans le cas d'une extension K d'un corps k, il va de soi qu'un automorphisme de K est pas forcément l'Identité sur k. Si c'est le cas on parle de k-automorphisme de K.
Pour une autre preuve du fait qu'un automorphisme f d'une extension K de Q est un Q-automorphisme, on peut remarquer que l'ensemble des points fixes de f est un sous-corps de K. Et il n'y a pas plus petit que Q comme sous-corps de K.

[skilveg]

En fait ça dépend si l'on parle de morphismes d'extensions (qui préservent par définition le petit corps) ou de corps...