Question rapide

[simplet]

Salut à tous, alors je viens de m'apercevoir que la convergence simple et la convergence uniforme pour des suites de fonctions est trés trés proche...

La question qui vient est: est-ce la meme chose??

je pense que ce qui fait la différence ( prenons la suite fn(x) ) c'est que le "quelque soit x" est placé devant pour la convergence simple et et apres le "il existe un N>0" pour la convergence uniforme, c'est ca?? Ce sui fait que dans le deuxieme cas le "epsilon" ne dépend pas de x.

Ai-je raison??? mercii

[yos]

Ce sont deux modes de convergences pas du tout proches. L'inversion des quantificateurs change beaucoup de choses. La convergence uniforme conserve la continuité et ce n'est pas le cas de la convergence simple (qui est donc plus grossière). La topologie de la convergence uniforme, sur l'ensemble des fonctions de I dans R, fait de cet espace un evn. Rien de tel pour la cvs.

[alben]

Bonjour,

Oui, c'est bien ça mais cette petite différence est essentielle. Cela signifie, schématiquement, que les suites de fn(x) convergent à la même vitesse pour tous les x lorsque la convergence est uniforme. La fonction limite hérite des propriétés de fn, en particulier la continuité...
Pour l'anecdote, la notion de continuité uniforme n'a été introduite que tardivement, vers la fin du 19ième siécle et l'on se demandait avant pourquoi on arrivait à des "paradoxes" pour certaines suites de fonctions qui convergeaient vers des fonctions qui ne vérifiaient pas les bonnes propriétés de la suite :lol3:

PS croisé avec yos

[simplet]

c'est ce que je voulais savoir et même plus..
merci