Question rapide

[Cryptocatron-11]

On écrit d(f(x)) ou alors (d(f))(x) ?

f est une fonction
x un réél
et d une application qui a f associe la différentielle d(f)

[Luc]

Disons que E et F sont deux espaces vectoriels normés, que U est un ouvert de E et que f est une application différentiable de U dans F. L'application différentielle de f, c'est une application de quoi dans quoi? Et la différentielle de f en un point x de U, c'est une application de quoi dans quoi? Avec quelle propriété?

Ça devrait répondre à ta question.

Luc

[Cryptocatron-11]

L'application différentielle de f, c'est une application de quoi dans quoi?

de dans je ne sais pas quoi ...

Et la différentielle de f en un point x de U, c'est une application de quoi dans quoi?

de R dans R ?

[Luc]

Aie... :triste:
Commençons par le plus simple : une brave fonction de dans . On la suppose différentiable en
La différentielle de en est une application linéaire de dans . On la note .

Maintenant, plus abstrait : l'application différentielle de est une application de dans . A tout point , elle associe une application linéaire, , qui est la différentielle de en .

C'est plus clair? :id:

[Cryptocatron-11]

Très clair comme explication. :++:

En fait on a df:=x->df(x) . Ce df(x) est la différentielle de f en x

et une autre application df(x):=h->(df(x))(h)

Mais on a aussi une application d:=f->df ?

Et aussi, quelle est la différence entre une forme différentielle et une différentielle ?

[Cryptocatron-11]

J'ai aussi lu que soit f:=U->F et f ' :=U->Lc(E,F)

Lc veut dire application linéaire continu et U est un ouvert de E. ça veut donc dire que (f ' (x)) (x) appartient à F ?

[Luc]

Très clair comme explication. :++:

En fait on a df:=x->df(x) . Ce df(x) est la différentielle de f en x

et une autre application df(x):=h->(df(x))(h)

Tout à fait!

Mais on a aussi une application d:=f->df ?

Très bonne question. Je dirais que si E et F sont des espaces vectoriels normés et U est un ouvert de E, l'application qui va de différentiable sur dans , qui à une fonction f associe son application différentielle df est bien une application. Elle a d'ailleurs l'air linéaire. Je ne sais pas si cette application a un nom par contre. Peut-être quelqu'un sait?

Et aussi, quelle est la différence entre une forme différentielle et une différentielle ?

Pour ça, je n'ai jamais compris ce qu'est une forme différentielle, je ne vais donc pas pouvoir t'aider pour le moment. Ça viendra peut être prochainement qui sait :we:

[Luc]

J'ai aussi lu que soit f:=U->F et f ' :=U->Lc(E,F)

Lc veut dire application linéaire continu et U est un ouvert de E. ça veut donc dire que (f ' (x)) (x) appartient à F ?

f' est juste une autre notation pour l'application différentielle df, assez pratique. Juste un souci en dimension 1, attention à ne pas confondre f'(x) (une application linéaire) et f'(x) (h) (un vecteur de F).
Du coup j'imagine que c'est plutôt f'(x) (h) et pas f'(x) (x) que tu voulais écrire.

[Cryptocatron-11]

C'est quoi le soucis en dim1 ?

pour moi il est logique d'écrire , tu n'es pas d'accord avec cette écriture ? Ecrire ça me pose problème

[Luc]

c'est quoi f'(x) pour toi?
et c'est quoi dx?
et c'est quoi le produit f'(x)dx?

Pour une fonction de R dans R, il faut réfléchir au lien entre nombre dérivé, fonction dérivée et différentielle en un point. Le souci étant que si l'on note f'(x) le nombre dérivé en x, la différentielle de f en un point x ce n'est pas f'(x)... C'est la forme linéaire qui multiplie les réels par f'(x). C'est pour ça qu'il vaut mieux faire attention avec la notation f'.

[Cryptocatron-11]

Pour une fonction de R dans R, il faut réfléchir au lien entre nombre dérivé, fonction dérivée et différentielle en un point. Le souci étant que si l'on note f'(x) le nombre dérivé en x, la différentielle de f en un point x ce n'est pas f'(x)... C'est la forme linéaire qui multiplie les réels par f'(x). C'est pour ça qu'il vaut mieux faire attention avec la notation f'.

Dans ce cas là, il faut définir f ' ( x ) comme étant la fonction f ' ( x ) := h -> f ' ( x ) * h , avec h appartenant à E. Et les deux f ' ( x ) (en gras et en rouge) apparaissant dans la définition, veulent dire 2 trucs différents , c'est ça ? Celui que j'ai mis en gras est une forme linéaire et en rouge, c'est le nombre dérivé en x.

c'est quoi f'(x) pour toi?
et c'est quoi dx?
et c'est quoi le produit f'(x)dx?

dx c'est une 1-forme différentielle
f'(x) c'est le nombre dérivé en x
du coup f'(x).dx est aussi une 1-forme différentielle

[Luc]

Dans ce cas là, il faut définir f ' ( x ) comme étant la fonction f ' ( x ) := h -> f ' ( x ) * h , avec h appartenant à E. Et les deux f ' ( x ) (en gras et en rouge) apparaissant dans la définition, veulent dire 2 trucs différents , c'est ça ? Celui que j'ai mis en gras est une forme linéaire et en rouge, c'est le nombre dérivé en x.

Exactement.

dx c'est une 1-forme différentielle
f'(x) c'est le nombre dérivé en x
du coup f'(x).dx est aussi une 1-forme différentielle

Ok. Quelle est l'image d'un vecteur h par dx?

[Cryptocatron-11]

Exactement.

Ok. Quelle est l'image d'un vecteur h par dx?

si h appartien à R, ça fait dx(h)=h

non ?

[barbu23]

Dans ce cas là, il faut définir f ' ( x ) comme étant la fonction f ' ( x ) := h -> f ' ( x ) * h , avec h appartenant à E. Et les deux f ' ( x ) (en gras et en rouge) apparaissant dans la définition, veulent dire 2 trucs différents , c'est ça ? Celui que j'ai mis en gras est une forme linéaire et en rouge, c'est le nombre dérivé en x.

Et si est définie sur , qu'est ce que ça devient ?
, non ?

[Luc]

si h appartien à R, ça fait dx(h)=h

non ?

Ok. donc en dimension 1, dx est l'identité.
Et dans =?

[Luc]

Et si est définie sur , qu'est ce que ça devient ?
, non ?

qu'est-ce qui devient ?

[barbu23]

qu'est-ce qui devient ?

l'application
D'accord, dans ce cas là, avec .

[Cryptocatron-11]

Ok. donc en dimension 1, dx est l'identité.
Et dans =?

. Pour determiner dx, il faut trouver

On a (c'est son dual)
Du coup, sauf que je crois que 1 , , non ?

Donc

[Luc]

En fait ma question revient à demander : est-ce que tu sous-entends ou pas?
Mais en général, disons que l'on a une base B=(e_1,...,e_n) et x=(x_1,...,x_n) dans cette base. Est-ce qu'on a le droit de définir une 1-forme en disant ? En notant la forme linéaire coordonnée qui à un vecteur associe , sa i-ème coordonnée dans la base B. (je précise que je connais pas la réponse, c'est une vraie question).

[Cryptocatron-11]

En fait ma question revient à demander : est-ce que tu sous-entends ou pas?

Vu que et que dans B , alors dx(e_1)=1 et donc je pense qu'on peut dire que

Mais en général, disons que l'on a une base B=(e_1,...,e_n) et x=(x_1,...,x_n) dans cette base. Est-ce qu'on a le droit de définir une 1-forme en disant ? En notant la forme linéaire coordonnée qui à un vecteur associe , sa i-ème coordonnée dans la base B. (je précise que je connais pas la réponse, c'est une vraie question).

ben vu que alors oui on peut dire que

Mais dans mon exemple, je crois que tout les , avec i différent de 1 , valent tous 0