Question matrices

[Abilys38]

Bonsoir,

Dans mon cours sur les matrices, il est écrit:

"Il est clair que":
est une bijection. Je n'ai pas trouvé de démonstration, est ce que quelqu'un pourrait me la donner?

Merci beaucoup!

[Ben314]

Salut,
Il n'y a rien à démontrer, c'est une "évidence évidente" modulo de savoir qu'une application linéaire f:E->F est entièrement caractérisée par l'image d'une base de E et que réciproquement, quelque soit les images qu'on se donne pour les images des éléments d'une base de E, il y a une unique application linéaire correspondant à ces désidérata là. Mais arrivé à ce stade du cours, normalement ça fait longtemps que ça doit être acquis ce truc là.

Bref, c'est quoi que tu sait pas faire, démontrer le résultat sus mentionné (ça faut obligatoirement savoir le faire vu que c'est le B-A-BA) ou faire le lien avec l'écriture matricielle ?

[Abilys38]

C'est le lien avec l'écriture matricielle qui me pose problème ! D'autant plus qu'au stade de cette propriété, nous n'avons pas encore démontré que l'application est linéaire.

[Ben314]

La bijectivité de l'application en question n'a au fond pas grand chose à voir avec le fait qu'elle est linéaire.

Tout ce qu'il y a à comprendre, c'est ce que représente la matrice de f dans les bases B (de E) et C (de F) : c'est les coordonnées dans la base C des images des vecteurs de la base B.
Or, comme on sait que l'application "Vecteur de F -> coordonnées dans la base C" est une bijection, se donner un tel "tableau de nombres", ben ça revient très très exactement à la même chose que de se donner les images par f des vecteurs de la base B et on sait (post. précédent) que se donner f ou se donner les images par f de la base B c'est pareil (i.e. qu'il y a une bijection).

Epicétout (donc il n'y a effectivement rien à dire à part que "c'est clair")

[Abilys38]

Je n'ai pas compris à partir de "bha ça revient exactement ...." alors que tout ce qui était dit juste avant était parfaitement clair

[Abilys38]

Pour montrer qu'elle est injective, pas de problème (daill
Cest pour la surjectivité que je bloque

[Ben314]

Tu part d'un "tableau de nombres" et tu te demande s'il existe une application linéaire dont c'est effectivement la matrice.
Si tu lit "ton tableau de nombre" colonne par colonne et que tu dit que chaque colonne représente les coordonnées d'un certain vecteur de F (*) (dans la base C de F), ça te donne un certain nombre de vecteurs de F.
Or tu sait qu'il existe une et une unique application linéaire f de E dans F qui envoie les vecteurs de la base B (de E) sur les fameux vecteurs de F dont on vient de parler.
Donc il existe une et une unique application linéaire qui a comme matrice (dans les bases B et C) le "tableau de nombre" que tu t'était donné au départ.
Ce qui prouve la bijectivité de l'application "f->matrice de f dans les bases B et C".

Et en fait, je comprend toujours pas bien.. ce qu'on peut ne pas comprendre dans le raisonnement en question.
La matrice(= les coordonnées de l'image de la base) nous donne l'image de la base et l'image de la base nous donne l'application f, et ça marche tout pareil dans l'autre sens : l'application f nous donne l'image de la base qui nous donne la matrice (= les coordonnées de l'image de la base)

(*) Ces vecteurs existent et sont unique vu que l'application "Vecteur <-> Coordonnées dans une base" est bijective.

[Ben314]

Je pense qu'en dernier recours, le plus simple est peut-être de raisonner sur un exemple.
Si E est de dim 2 et F de dim 3 et que l'application f, c'est celle telle que f(1,0)=(a ; b ; c) et f(0,1)=(d ; e ; f) (*) (où les coordonnées au départ sont prises dans la base B et à l'arrivé dans la base C) alors la matrice de f dans les bases B et C, c'est et c'est complètement évident que j'obtiens bien tout les "tableaux de chiffre" que je veut vu que a,b,c,d,e,f sont quelconques et qu'il n'y a qu'une et une seule façon d'obtenir un tableau de chiffre donné.

Bref, d'écrire que f(1,0)=(a ; b ; c) et f(0,1)=(d ; e ; f) (ce qui détermine une unique application linéaire) ou bien d'écrire que la matrice est , il me semble quand même que c'est complétement évident qu'on passe mécaniquement et sans réfléchir de l'un à l'autre, non ?

(*) Et je rappelle que l'autre truc "concon", c'est que l'application f elle existe et elle est est unique vu que, par linéarité, on est obligé de prendre f(x,y)=f[x.(1,0)+y.(0,1)]=x.f(1,0)+y.f(0,1)=x.(a,b,c)+y.(d,e,f)=ax+dy , bx+ey , cx+fy) et qu'on vérifie "finger in the noze" que ce truc là est bien linéaire.

[Abilys38]

Tu part d'un "tableau de nombres" et tu te demande s'il existe une application linéaire dont c'est effectivement la matrice.
Si tu lit "ton tableau de nombre" colonne par colonne et que tu dit que chaque colonne représente les coordonnées d'un certain vecteur de F (*) (dans la base C de F), ça te donne un certain nombre de vecteurs de F.
Or tu sait qu'il existe une et une unique application linéaire f de E dans F qui envoie les vecteurs de la base B (de E) sur les fameux vecteurs de F dont on vient de parler.


Cest dans cette dernière phrase que je bloque! Autant l'unicité, je le comprend parfaitement, autant l'existence... je ne parviens pas à le montrer. Comment montrer qu'il existe toujours une telle application ?



Donc il existe une et une unique application linéaire qui a comme matrice (dans les bases B et C) le "tableau de nombre" que tu t'était donné au départ.
Ce qui prouve la bijectivité de l'application "f->matrice de f dans les bases B et C".

Et en fait, je comprend toujours pas bien.. ce qu'on peut ne pas comprendre dans le raisonnement en question.
La matrice(= les coordonnées de l'image de la base) nous donne l'image de la base et l'image de la base nous donne l'application f, et ça marche tout pareil dans l'autre sens : l'application f nous donne l'image de la base qui nous donne la matrice (= les coordonnées de l'image de la base)

(*) Ces vecteurs existent et sont unique vu que l'application "Vecteur <-> Coordonnées dans une base" est bijective.

[Ben314]

Cest dans cette dernière phrase que je bloque! Autant l'unicité, je le comprend parfaitement, autant l'existence... je ne parviens pas à le montrer. Comment montrer qu'il existe toujours une telle application ?

Si c'est effectivement ça le problème, ça n'a rien à voir avec les matrices et ça demande effectivement quelques vagues calculs pour l'expliquer :

Tu veut donc montrer qu'étant donné une base B=(e1,e2,...,en) de E et étant donné des vecteurs f1,f2,...,fn absolument quelconques de F, il existe une unique application linéaire f:E->F telle que f(ei)=fi pour tout i.
Si on prend un vecteur quelconque U de E, comme B est une base, il s'écrit (de façon unique) U=x1.e1+...+xn.en et, vu qu'on veut que f soit linéaire, on n'a pas le choix, il faut forcément prendre
f(U) = f(x1.e1+...+xn.en) = x1.f(e1)+...+xn.f(en) = x1.f1+...+xn.fn.
Ca prouve déjà l'unicité de f (il faut forcément prendre celle là).
Ensuite, il faut vérifier que l'application définie par ces formules, c'est à dire telle que
f(x1.e1+...+xn.en) = x1.f1+...+xn.fn
est effectivement une application linéaire, et, évidement, on vérifie les deux trucs qu'il y a à vérifier.
- Si U et U' sont deux vecteurs de E, il faut vérifier que f(U+U')=f(U)+f(U').
Ecrivons U=x1.e1+...+xn.en et U'=x'1.e1+...+x'n.en.
On a donc U+U'=(x1+x'1).e1+...+(xn+x'n).en
et donc, par définition de f, on a f(U+U')=(x1+x'1).f1+...+(xn+x'n).fn
Mais d'un autre coté, toujours par définition de f, on a f(U)=x1.f1+...+xn.fn et f(U')=x'1.f1+...+x'n.fn
Donc on a bien f(U+U')=f(U)+f(U')
- Idem pour montrer que f(a.U)=a.f(U)
Donc f est bien linéaire.
C.Q.F.D.

Mais je le redit, ce résultat là, c'est pas con de l'avoir vu AVANT d'avoir vu la notion de matrice vu que c'est justement lui qui explique pourquoi la notion de matrice est aussi intéressante.

[Abilys38]

Ok pour ça, mais qu'est-ce qui prouve que cette fameuse application linéaire existe ???

Si elle existe, elle est unique: ok pas de problème
Si elle existe, elle est linéaire: ok pas de problème
Mais pourquoi existe elle forcément???

[Ben314]

C'est le lien avec l'écriture matricielle qui me pose problème ! D'autant plus qu'au stade de cette propriété, nous n'avons pas encore démontré que l'application est linéaire.

Et ça veut dire aussi que là, tu avait "répondu de travers".
La bijection Application linéaire <-> Matrice, elle se "scinde en deux" vu qu'en fait ce qu'on a, c'est
Application linéaire <-> Image d'une base <-> Matrice

Et le truc marqué dans tout les bouquins comme "totalement évident", c'est la partie
Image d'une base <-> Matrice
Mais par contre le morceau
Application linéaire <-> Image d'une base
bien que pas particulièrement compliqué, il faut tout de même écrire au moins une fois dans sa vie le pourquoi on a Image d'une base -> Application linéaire

[Abilys38]

C'est frustrant car je comprend très bien TOUT SAuf cette existence...

Dans toutes les démonstrations que je vois sur ce théorème, Les auteurs démontrent l'unicité, puis le fait que cette unique solution soit bien une application linéaire. Mais ma question, "comment sait on qu'une telle application va exister?", existe vraiment?

[Ben314]

Mais pourquoi existe elle forcément???

C'est exactement comme si, partant de l'équation f(x)=0 aprés des tas de calculs tu arrive à la conclusion que, s'il y a un x qui marche, ça ne peut être que racine(2).
Ensuite tu fait quoi ?
Ben, évidement tu calcule f(racine(2)) et si ça fait bien 0, c'est plié, c'est que c'est l'unique solution.

Ici, c'est exactement pareil, on a vu que le seul candidat possible, c'était la fonction f telle que f(x1.e1+...+xn.en) = x1.f1+...+xn.fn (*)
et il faut vérifier que c'est effectivement une solution au problème posé et... c'est ce qu'on a fait : vérifier qu'elle était bien linéaire.
Sinon, j'ai effectivement pas (ré)écrit, un truc qui me semblait totalement évident, c'est que la fonction f définie par la relation (*), elle vérifie bien f(e1)=f1, f(e2)=f2, etc... vu que, par exemple, e1=1.e1+0.e2+...+0.en
Bref, on a bien montré que notre "candidat" est (du verbe être...) une solution du problème posé et je vois franchement pas ce qu'on pourrait montrer d'autre...

[Abilys38]

Ok je commence à être convaincu... effectivement le problème ne venait pas des matrices!
désolé pour le temps que ça a mit mais c'était pour moi très intéressant.

Merci pour le temps consacré.

[Ben314]

Que tu te pose ces questions, c'est plutôt bien : ça montre que tu as envie de comprendre.

Par contre, effectivement, pour quelqu'un qui a déjà un peu de recul sur la question, c'est un peu déroutant vu qu'on peine à cerner où réside la difficulté.
Mais cette partie (2 post plus haut), il faut absolument que tu la comprenne : les "calculs" sont sans grand intérêt vu que "tout coule de source", mais il faut effectivement bien se convaincre que ça démontre... ce qu'on voulait que ça démontre...

[Ben314]

Je remet ça "sur le devant" pour que ce soit clair :

Tu veut donc montrer qu'étant donné une base B=(e1,e2,...,en) de E et étant donné des vecteurs f1,f2,...,fn absolument quelconques de F, il existe une unique application linéaire f:E->F telle que f(ei)=fi pour tout i.

On a bien montré que la fonction f définie par (*) vérifie les deux trucs en bleu : c'est donc bien UNE solution du problème et, vu le premier morceau de la preuve, c'est la seule solution.

[Abilys38]

Oui tout est bien clair maintenant.
Merci beaucoup et bonne nuit !!

[Abilys38]

J'oublierai pas la démonstration de sitôt ...