Question d'integration

[Marcet003]

Bonjour,

Je me pose 2 questions.

1)Soit une fonction continue sur un intervalle [a;b) et une primitive de sur cet intervalle.

?

2) Lorsque j'essayais de prouver l'assertion ci-dessus, j'ai souvent été confronté à une limite d'intégrale. En reprenant, la fct. du pt. 1, sous quelles conditions je peux permuter la limite et l'integrale de l'expression suivante :



Merci d'avance !!

[Ben314]

Salut,
Pour les Francophones, un intervalle semi ouvert, ça se note plutôt [a,b[ que [a,b).
Sinon, pour la question 1),
- Si on prend sur ]0,1], c'est qui ? Quelles sont les limites en 0 de f et F ?
- Si on prend sur ]0,1], c'est qui ? Quelles sont les limites en 0 de f et F ?
Par contre, ce qui est vrai, c'est l'implication dans le sens "si f admet une limite alors F aussi".

Pour le 2), ta question n'a pas vraiment de sens : un truc du style , évidement, ça dépend de , mais par contre il est clair que , si ça existe, ben ça dépend plus de donc de l'intégrer (en ), ça a pas bien d'intérêt : tu intègre une constante en fait et en plus tu risque de te mélanger les pinceaux vu que les deux qui apparaissent dans ta formule d'intégrale (la limite en et le ) n'ont aucun rapport l'un avec l'autre).

[Marcet003]

Pour et , je vois que la limite pour x -> 0, vaut 0 pour la primitive et est infinie pour la fonction.
Pour et , la limite n'existe pas pour la fonction alors qu'elle est aussi nulle pour la primitive.

Je comprends que l'équivalence que j'ai mentionnée est fausse dans le sens de la primitive vers la fonction. Mais je pense que l'implication de la fonction vers la primitive est juste, comme la dérivabilité implique la continuité ?!

[Marcet003]

Pour la question 2).

Ok ! Et est-ce que l'inversion limite-integrale n'a de sens que dans le contexte des suites de fonctions ?

[Ben314]

Mais je pense que l'implication de la fonction vers la primitive est juste, comme la dérivabilité implique la continuité ?!

L'implication dans ce sens est effectivement juste, mais c'est un peu plus compliqué que juste "dérivable => continue".
Le résultat "complet" souvent énoncé, c'est que, si est dérivable sur et que admet une limite finie en alors admet aussi une limite finie en et le prolongement par continuité obtenue en posant est dérivable (à gauche) en avec .

Sinon, le contexte sans doute le plus fréquent où on parle de "permutation limites/intégrale" c'est celui des fonctions de deux variables :
Ce qui englobe en particulier le cas des suites de fonctions : si est un entier, on notera plutôt que , mais ça ne change bien sûr rien (une "suite", c'est jamais qu'une fonction avec comme ensemble de départ les entiers naturels)

[Marcet003]

Merci beaucoup !!