Question de dénombrement / probabilité

[Alainterrieur]

Bonjour à tous !
Petite question que je n'arrive pas à résoudre.
J'ai N billes identiques, que je répartis aléatoirement en k tas.
Quelle est la probabilité qu'au moins 1 tas ait au moins p billes ?

Ca parrait simple comme ça, mais je sèche !

Merci d'avance !

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Quelle est la probabilité qu'un tas donné ait au moins p billes ?

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas la question : c'est quoi le protocole employé pour répartir les billes ?
- Pour chaque bille, on choisi (de façon uniforme et indépendante) dans quelle tas elle va être ?
- On dresse la liste des répartitions possible et on en choisi (de façon uniforme) une au hasard ?
- Autre chose ?

[Alainterrieur]

La distribution des billes entre les tas se fait de façon uniforme et indépendante : la probabilité qu'une bille aille dans un tas est donc de 1/k

[Ben314]

Perso., je suis relativement sec . . .

L'approche directe dit que la proba. que la répartition des billes dans les tas soit (où ) est (coeff. multinomial). Sauf que ça se somme pas du tout facilement sur l'ensemble des répartitions telles qu'il y ait un .

J'ai aussi vaguement regardé en modélisant le bidule avec des "temps d'attente" de lois exponentielles pour l'arrivée d'une nouvelle bille dans un tas (ce qui donne des lois de Poissons pour le nombre de boules dans un tas à un instant donné), mais ça se somme pas mieux . . .

[Alainterrieur]

Merci pour le début de réponse ! J'étais aussi parti sur un truc comme ça, mais vu que toutes les billes sont identiques ont ne peut pas simplifier le problème ?
c'est le nombre de distributions possibles si les billes sont différentes, mais si tout les billes sont identiques il ne faudrait pas plutôt prendre le nombre de combinaisons possibles avec répétition soit ?

Par contre le nombre de combinaisons où il y a au moins 1 tas avec plus de p billes est plus difficile à trouver. J'ai essayer de réfléchir avec des complémentaires, par exemple en réfléchissant au nombre de "places libres" dans chaque tas (p-bi) mais je sèche aussi

[GaBuZoMeu]

c'est le nombre de distributions possibles si les billes sont différentes, mais si tout les billes sont identiques il ne faudrait pas plutôt prendre le nombre de combinaisons possibles avec répétition soit ?

Ce n'est pas cohérent avec le protocole que tu as toi même fixé pour la répartition aléatoire. Prends l'exemple de 2 boules et deux tas A et B. Avec le protocole que tu as fixé, la probailité de A:1 B:1 est 1/2. Mais si tu comptes les combinaisons avec répétition, ça ne fait plus qe 1/3.

[Alainterrieur]

Ok oui tu as raison merci !