Question démonstration

[Ainow]

Bonjour,
je dois montrer qu'il existe un n appartenant à N tel que (a+1/n)²>2 en supposant au départ que a²>2 mais je ne vois pas par où commencer. Mon idée c'était que si a²>2 alors il peut y avoir un 1/n suffisamment petit (quand on fait tendre vers n vers des valeurs de plus en plus grande) pour arriver à ce qui est demandé mais je ne vois pas comment m'y prendre.

[Pseuda]

Bonsoir,

Je ferais : ssi ssi .

Comme , cette inégalité est vérifiée pour n suffisamment grand (on peut le déterminer avec delta, etc...).

[Elias]

Salut,
Tu peux aussi raisonner par l'absurde :

si pour tout n >0, on a: (a+1/n)^2 <= 2, alors en faisant tendre n vers +oo (passage à la limite), il vient a^2 <= 2, ce qui est faux.

[Ainow]

oups je viens de réaliser que j'ai fait une erreur dans l'énoncé , il faut montrer que il existe un n appartenant à N (a-1/n)²>2 , je vais essayer la méthode de pseuda

[Pseuda]

Oups aussi, le 1er était évident avec n'importe quel n >=1.

[Elias]

Oups aussi, le 1er était évident avec n'importe quel n >=1.

Pas forcément, car peut être négatif.

[Ainow]

du coup je trouve delta = 8 et (a²-1/n)>2 si n< ((a-4)/(a²-2)) ou si n> ((a+4)/(a²-2))

[Pseuda]

Oups aussi, le 1er était évident avec n'importe quel n >=1.

Pas forcément, car peut être négatif.

Bonjour Trident2,

Oui j'ai supposé implicitement que a était positif (mais pas dit dans l'énoncé effectivement) car proche de racine de 2. Je suppose que cette démonstration a un rapport avec racine de 2 (nombre positif dont le carré est 2).

[Pseuda]

du coup je trouve delta = 8 et (a²-1/n)>2 si n< ((a-4)/(a²-2)) ou si n> ((a+4)/(a²-2))

Bonjour,

En fait on n'a même pas besoin du delta (le terme en 1/n^2 est surnuméraire dans l'inéquation).

[Ben314]

Salut,
A mon sens, ce type de truc, c'est quand même l'archétype de la question où l'utilisation du "langage des limites" est adapté : si n tend vers +oo (a-1/n)^2 tend vers a^2 (par composition de limites)
Or a²>2 donc il existe un N tel que, pour tout n>N on ait (a-1/n)^2>2 (en prenant epsilon=a²-2>0 dans la définition d'une limite).
Evidement, on peut le faire directement par du calcul, mais ça revient très précisément à (re)démontrer "à la main" que (a-1/n)^2 tend vers a^2 lorsque n->oo.

[Pseuda]

Bonjour,

@Ben314 Ouais bon, cela évite le raisonnement par l'absurde (qui n'est pas si mal), mais par rapport à la question posée, la limite ne donne pas le seuil, cela dépend de ce que l'on veut faire du "n" après.

[Ainow]

re bonjour,
ce qui me pose aussi problème et que je n'ai pas préciser c'est que je travaille dans un ensemble A = {x ∈ Q+/ x²<2}, le a en question est considéré comment étant la borne supérieure de cet ensemble , en essayant la méthode de pseuda et en résolvant l'équation je trouve delta = 8 mais dont la racine n'est pas un rationnel donc je ne suis pas sur que cela convienne.
Ensuite concernant la limite j'ai toujours pas trouvé de valeur de n en appliquant la définition de la limite

[Pseuda]

Il faudrait un énoncé complet pour comprendre quel est ton problème. Comme dit plus haut, tu peux te passer de delta. En effet si on cherche p tel que p > 0, a fortiori on aura p + 1/n^2 > 0.

[Ainow]

Pour donner du contexte je vous montre l'énoncée
Mon sujet c'est "on considère un ensemble Q muni de son ordre naturel ⩽. Soit A la partie défini par A = {x ∈ Q+/ x²<2},
La question ou j'en suis est "on suppose que a est la borne supérieur de A",
la première partie était
"soit ε>0 en remarquant que a+ε n'est pas dans a montrer que a² ⩾ 2 celui là je l'ai fait
La deuxième partie c'est là ou je bloque l'énoncé c'est
"on suppose a²>2 montrer qu'il existe n ∈ N tel que (a-1/n)²>2. En déduire une contradiction puis que a² = 2.

[Pseuda]

Bonjour,

Si je comprends bien :

La 2ème partie montre que sii a^2 > 2, alors a n'est pas le plus petit des majorants, car il existe n tel que (a-1/n)^2 > 2, donc il existe un majorant plus petit. Dans ce cas, tu n'as pas besoin de l'expression de n, la démo avec la limite suffit.

[Ainow]

En appliquant la définition la limite ça me fait:
∀ ε > 0 , ∃N , ∀n >N ⇒ | (a-1/n²)-a²|< ε ce qui me donne |(1/n²)-2a/n|<ε et donc,
-ε < 1/n² - 2a/n < ε mais à partir de là je vois comment je peux répondre à la question

[Pseuda]

Donc tout va bien.

[Ainow]

oups je voulais dire que je ne vois pas comment isoler n pour trouver une valeur minimal nécessaire à dépasser