Question de cours sur les sous groupes de (Z/nZ, +)

[Abilys38]

Bonjour,

J’ai une question un peu bête de compréhension sur les sous groupes (Z/nZ, +).
J’ai vu que les sous groupes de (Z/nZ, +) sont les cla(d) tel que d divise n.
Par exemple, pour (Z/12Z, +), d= 1 2 3 4 6 12.
Mais, dans ce cas, par stabilité, si cla(6) est un sous groupe, en additionnant deux éléments de cla(6), je devrais avoir un élément qui appartient à cla(6). Or, si j’additionne 6+6, on est dans la classe 0.
Voilà pourquoi je ne comprend pas… Avoir une réponse à cette question me permettra d’y voir beaucoup plus clair.
Merci d’avance pour votre aide.

[Ben314]

Salut,
Le problème, c'est que visiblement tu as pas bien compris (du tout...) le truc en question.
Pour reprendre les sous groupes de Z/12Z, il y en a effectivement 6 qui sont :
- Le sous groupe engendré par , c'est à dire qui a 12 éléments et qui est en fait le groupe tout entier.
- Le sous groupe engendré par , c'est à dire qui a 6 éléments.
- Le sous groupe engendré par , c'est à dire a 4 éléments.
- Le sous groupe engendré par , c'est à dire qui a 3 éléments.
- Le sous groupe engendré par , c'est à dire qui a 2 éléments.
- Le sous groupe engendré par , c'est à dire qui a un seul élément.

Et, évidement, tout les sous groupes contiennent l'élément neutre vu que c'est dans la définition même d'un "sous groupe".

[Abilys38]

Ok merci beaucoup.
Donc, pour le cas générale, puisque selon le théorème de Lagrange, le cardinal d'un sous groupe divise le cardinal du groupe, une condition éliminatoire est que le sous groupe soit engendré par un élément qui divise n?
Mais ça ne suffit pas à démontrer que les sous groupes de (Z/nZ, +) sont les Z/dZ j'imagine...

[Ben314]

Je comprend pas trop ce que tu veut dire avec tes "condition éliminatoire"...
Sinon, il faut bien comprendre que si tu prend un entier qui ne divise pas tu as parfaitement le droit de considérer le sous groupe de Z/nZ engendré par et que ça sera évidement... un sous groupe. Par contre, ce que te dit le théorème, c'est que ce sous groupe engendré par , il sera aussi engendré par un (unique) tel que soit un diviseur positif de .
Par exemple, avec Z/12, tu peut évidement considérer le sous groupe engendré par exemple par , mais c'est le même que celui engendré par .
De même, celui engendré par , c'est le même que celui engendré par (c'est à dire Z/12Z tout entier)

Sinon, concernant la preuve, on peut le faire "plus ou moins à la main", mais avec un tout petit peu de théorie, c'est immédiat :
Si est un sous groupe de Z/nZ, on considère la surjection canonique qui est évidement un morphisme de groupe.
L'ensemble est donc un sous groupe de ce qui signifie qu'il existe tel que .
De plus, comme (car est un sous groupe), on a ce qui signifie que divise .
Enfin, comme est surjective, on a ce qui signifie que est le sous groupe engendré par , et que (qui a n/d éléments}

De plus, si et sont deux diviseurs positifs distincts de n, les sous groupes de Z/nZ engendré par et seront distinct (car le premier a n/d éléments et le deuxième en a n/e) et cela signifie qu'il y a une bijection entre les sous groupes de Z/nZ et les diviseurs (positifs) de n.

[Abilys38]

Ok merci pour ces infos. Je vais essayer de retrouver la démonstration avant de lire la tienne.
Merci