Question de cours: polynôme annulateur, valeur propre.

[mimix]

Bonsoir, je viens de commencer la réduction des endomorphismes et j'ai du mal à comprendre certaines notions du cours:

Si M est le polynôme annulateur de A, tel que M= , avec les p valeurs propres distinctes de A.
Dans le cours, j'ai la division euclidienne de . OK. Avec . Jede ne comprends pas l'exemple du cours, enfin j'ai plutôt du mal à relier ce qui est écrit ci-dessus avec la "pratique". Ca reste assez confus.
On cherche à calculer pour A= .
J'écris le polynôme caractéristique = X(1+X)(2-X).

Pour tout n non nul, il existe Q appartenant à R[X], (a,b,c) appartenant à tels que = Q(X)P(X) + aX² + bX + c.

Donc le X, de la définition donnée ci-dessus est une valeur propre ? (celui avec la division euclidienne).

De même j'ai du mal à comprendre pourquoi en prenant X=-1 par exemple, j'ai Q(-1)P(-1) =0?

J'ai à mon avis pas assez de recul!

[Nightmare]

Salut,

tu sais que (Cayley-Hamilton)

Du coup, une fois trouvés a, b et c tels que on aura , ie (à modeler selon les valeurs de n bien entendu)

[mimix]

Le grand X ici, c'est bien une valeur propre de A?

[Doraki]

Si ton polynôme annulateur c'est X(1+X)(2-X), les valeurs propres c'est 0,-1, et 2.

Ton cours ne t'as pas dit que "regarder le reste de la division euclidienne de X^q par M" c'était pour pouvoir calculer la matrice A^q plus facilement ?

[mimix]

pour khi(A) = 0, ça revient à prendre les valeurs propres de A? ou la matrice en elle-même?

[mimix]

> Doraki, oui c'est une méthode pour calculer la puissance d'une matrice. Mais c'est le Khi(A) qui me dérange. Khi(A) = 0 pour des valeurs propres de A ou pour la matrice?

[Doraki]

Si x est un nombre réel, tu peux interpréter Khi comme une fonction polynômiale sur R, et parler de Khi(x), qui est un réel.
Et il y a un théorème qui dit que si Khi est le polynôme caractéristique de A,
x est une valeur propre de A <=> Khi(x) = 0.

Si B est une matrice de M3(R), tu peux interpréter Khi comme une fonction polynômiale sur M3(R), et parler de Khi(B).
Là, sur ton exemple, Khi(B) = la matrice B(I+B)(2I-B).

Et Khi(A) = A(I+A)(2I-A) est censé donner 0, vu que Khi est un polynôme annulateur de A.