Question / Challenge

[chombier]

Bonjour à tous,

Je révise un peu la topologie générale, et je me pose une petite question :

Soit un espace topologique; et deux sous-ensembles de E
Conjecture : Si alors et

Je crois que ça ferait de la relation "avoir le même intérieur et la même adhérence" une relation d'équivalence.

J'ai réussi à (re)montrer que si alors et . Ca permet de se débarrasser des évidences mais pas de prouver ma conjecture.

Merci d'avance, je vais être honnête, je n'ai pas vraiment le temps de chercher (tiens en passant je suis admissible à l'agreg externe !!!)

EDIT : je pense qu'il faut utiliser les caractérisations "intersection de tous les fermés contenant A" et "union de tous les ouverts inclus dans A"

[Ben314]

Salut,
Un "petit rappel" dans muni de la topologie usuelle, l'ensemble est tel que et .
- Dans ce cas, c'est qui "les parties telles que " ?
- Pense tu vraiment qu'elles vérifient toutes ?
- Qu'elles vérifient toutes ?
- L'exemple en question est-il faramineusement compliqué ?
- Tu en as d'autre des "conjectures" du même tonneau ?

[chombier]

Merci beaucoup Ben ! L'exemple est en effet tout simple.

Je te réponds quand même pour la forme : toutes les parties de vérifient .
Il suffit prendre pour avoir un contre-exemple.




Et ne t'inquiètes pas, ne ne suis pas susceptible !

[Ben314]

Et si on suppose que A est "relativement gentil" dans le sens que sa frontière est d'intérieur vide c'est vrai ou pas ton truc ?

[chombier]

Si la frontiere de A est d'intérieur vide, c'est à dire si est d'intérieur vide :

Dire que C est d'intérieur vide , c'est équivalent à dire que C ne contient qu'un seul ouvert : l'ensemble vide.

Considérons . C'est l'union de tous les ouverts inclus dans B.
Mais un ouvert O inclus dans B est forcément inclus dans , sinon l'intérieur de serait un ouvert non vide inclus dans la frontière de A ce qui est exclu.
Donc est l'union de tous les ouverts inclus dans
Donc

Je suis vraiment pas sur de moi, j'ai fait ça un peu à l'arrache j'avoue. En fait je ne suis pas certain que l'intérieur de (O privé de A ronde) est non vide. Je voulais considérer mais je ne suis pas du bon côté. mais ce n'est pas un ouvert. Donc...

Mais je fatigue. Et puis la topo générale n'est plus au programme

[Ben314]

Considérons . C'est l'union de tous les ouverts inclus dans B.
Mais un ouvert O inclus dans B est forcément inclus dans , sinon l'intérieur de serait un ouvert non vide inclus dans la frontière de A ce qui est exclu.
Donc est l'union de tous les ouverts inclus dans
Donc
Je suis vraiment pas sur de moi,...

Tu as raison... de ne pas être sûr...
Concernant la partie rouge, déjà, je vois pas pourquoi serait non vide : par exemple, rien ne dit que est non vide (et O non plus). Et ensuite, je vois vraiment pas pourquoi serait contenu dans la frontière de .

Sinon, pour en revenir au problème de départ, il est clair qu'une partie donnée vérifie la proposition

Sauf que le fait que la frontière de soit vide n'implique pas que , par exemple, dans , la partie est ouverte, de frontière d'intérieur vide, mais .

Idem pour l'autre cas où on a

Or, dans , la partie est telle que bien que ait une frontière d'intérieur vide.

[chombier]

Sinon, pour en revenir au problème de départ, il est clair qu'une partie donnée vérifie la proposition


Pas si évident que ça pour moi, mais...











Ça marche bien. C'est joli. Ca me rappelle un exercice où il fallait montrer qu'à partir d'un ensemble A, et en combinant les opérateurs intérieur et adhérence, on pouvait construire au plus 7 ensembles différents. Je le ferais, un jour...