Question basique sur les équations linéaire d'ordre 1

[LaRfefence]

Bonjour

Voilà début janvier j'ai mes examens qui commencent et y a une matière en particulier où vraiment j'ai du mal : les équations différentiel ( en plus c'est vraiment des exercices "simples" ) du coup peut être que quelqu'un ici saura m'expliquer en détail le calcul ci-dessous :

f'(x) + f(x) = e^-x

Dans mon cours pour trouver les solutions de cette équation y a deux "techniques" la première c'est de passer par une fonction auxiliaire du coup l'équation devient :

M(x)f'(x) + M(x)f(x) = M(x)q(x) où q(x) = e^-x

Pour ensuite trouver une primitive de Mq ( W) et f(x) = W/M

Mais il me semble que on peut aussi passer par l'équation homogène associée qui est pour cet exemple

f'(x) + tf(x) = 0 qui donne une solution sous la forme Ke^-tx

Et ensuite trouver une solution particulière pour l'équation de départ mais honnêtement c'est très flou dans ma tête si quelqu'un sait me résumer le raisonnement à avoir pour cet exemple ce serait super : )


Merci d'avance

[aviateur]

Bonjour
D'abord on résout l'équation homogène


Ensuite vu le second membre on cherhce une solution particulière de la forme
Donc pour a=1.
D'où la solution générale

Ou alors on fait varier la constante, i.e on pose
donc
et

[LaRfefence]

Ok merci donc si je comprend bien il faut que je connaisse les différentes formes de solutions possible en fonction du membre de droite dans l'équation ?

[aviateur]

Disons que tout dépend du second membre (et de premier membre bien sûr).
Si on n'a pas d'idée on applique la variation de la constante.
Mais souvent le second membre donne l'idée de la forme d'une solution particulière possible. Alors les calculs sont souvent plus faciles.
Par exemple, si le second membre avait été une exponentielle,
(par exemple e^{2x}) alors on cherche une solution de la forme y(x)=ae^{2x} .
Mais ici l'exponentielle est (comme celle de la solution générale ) alors on cherche une solution de la forme avec p(x) polynôme et l'expérience montre que p(x) est de degré1, donc on cherche une solution de la forme y(x)=a x exp(-x). On remplace et on trouve bien une. Si on n'en trouve pas c'est qu'on n'a pas trouvé la bonne forme.