Question d'algèbre

par **Dinozzo13** » 15 Aoû 2010, 00:14

Bonsoir, je ne comprends pas bien l'écriture suivante :

, ni pourquoi on appelle ça un anneau.
Et je ne saisis pas bien la notion d'opération interne.

Si l'addition est interne dans

cela veut-il dire que quels que soient les entiers

et

,

? De même, donc on aurait

Enfin je suis un peu perdu avec toutes les appellations :
Groupes - Anneau - Corps etc, y aurait-il un moyen d'avoir quelque chose de plus clair, pour mieux comprendre tout ça merci ^^

par **Finrod** » 15 Aoû 2010, 00:55

Inutile d'employer le conditionnel ^^

Le produit de deux entiers est entier, leur somme aussi.

Une groupe est un ensemble avec une loi inversible, associative et avec élément neutre. L'addition dans Z par exemple, ça marche très bien.

Maintenant, tu as aussi un multiplication dans Z. Bon be elle est associative et à une élément neutre 1, mais les inverses n'existent pas.

C'est ton anneau , ça fait beaucoup de nouveau formalisme, il faut juste s'habituer. (ce ne sont que des noms)

Heureusement, l'ensemble des rationnel permet de récupérer tous ces inverses, on a alors un corps.

Question: pourquoi la notion d'anneau est elle importante ?

Parceque les loi + et ., addition et multiplication ont une certaine universalité.

L'addition en particulier, qui joue un rôle fondamental en algèbre commutative et géométrie algébrique où l'on vérifie qu'elle permet de conserver un univers de travail très intuitif (notion d'image d'un fonction par ex).

Le seul truc qui le concurrence en ce moment, c'est le corps à un élément mais c'est une autre histoire.

par **Dinozzo13** » 15 Aoû 2010, 00:59

Merci pour ta réponse ^^

Qu'entends-tu par loi inversible ?

par **Dinozzo13** » 15 Aoû 2010, 01:03

justement, j'ai un peu de mal à faire le tri avec tout ces noms, ca me paume :ptdr:

par **Finrod** » 15 Aoû 2010, 01:04

L'inverse de 2 dans Z pour l'addition est 2-2=0 à est le neutre pour l'addition.

Pur la multiplication le neutre et 1, L'inverse de 2 est 1/2 or il n'est pas dans Z.

Il faut prendre Q pur que la multiplication soit inversible, car Q contient tous les inverses des nombres entiers.

par **Dinozzo13** » 15 Aoû 2010, 01:51

Ah ok, c'est pas si dur en fait.

Mais tu pourrais m'expliquer et/ou me rassembler les termes d'algèbre :

Corps - Structure - Magma - Anneau - etc car c'est un peu le bazard ^^

par **Finrod** » 15 Aoû 2010, 10:23

Magma : Il existe une loi interne.

Monoides : Cette loi est associative, ie la valeur de x.y.z ne dépend pas de l'ordre dans lequl on applique la loi.

Moniode unitaire : La loi est associative et a un élément neutre

Groupe: La la loi est assoiative à une elt neutre et des inverses

Anneaux : Une loi de groupe plus une loi de monoide unitaire. La seconde se diribue par rapport à la première

Corps : Deux loi de groupe, la second se distribue par rapport à la première.

Algèbre sur un anneaux de base: Anneaux plus une multiplication externe par les elts de l'anneau de base.

Espace Vectoriel : Algèbre sur un corps.

Les autres notions que j'ai en tete là tout de suite sont trop complexes. Ben on regarde des complexes de chaine justement en algèbre commutative.

par **leon1789** » 15 Aoû 2010, 10:46

Finrod a écrit:Espace Vectoriel : Algèbre sur un corps.

Nan nan :id:
Un espace vectoriel n'est pas forcément une algèbre car un espace vectoriel n'a pas de structure d'anneau a priori.

par **Euler07** » 15 Aoû 2010, 10:56

C'est bien de t'avancer comme ça ! Moi aussi j'ai eu du mal à comprendre ces notions, mais la persévérance à marcher !

par **benekire2** » 15 Aoû 2010, 11:06

Salut !
J'aime bien l'algèbre générale, mais malheureusement j'ai l'impression qu'on en fait très peu en prépa, du moins si l'on suit le programme ( les HP de spé doivent porté en partie sur l'algèbre générale je pense, ) En première année on demande pas de savoir grand chose a part les définitions des groupes/anneaux/corps/morphismes et en deuxième année il y a des relations d'équivalences+groupes quotients,groupes cycliques et groupes finis. Bref, même le théorème de Lagrange est HP... Par contre j'ai l'impression qu'on "bouffe" énormément d'algèbre linéaire ....

Si tu veut y voir clair, je te conseille : http://bkristof.free.fr/cours/Cours%20-%20Groupes,%20anneaux,%20corps.pdf

par **abcd22** » 15 Aoû 2010, 13:21

Salut,

benekire2 a écrit:J'aime bien l'algèbre générale, mais malheureusement j'ai l'impression qu'on en fait très peu en prépa, du moins si l'on suit le programme ( les HP de spé doivent porté en partie sur l'algèbre générale je pense, ) En première année on demande pas de savoir grand chose a part les définitions des groupes/anneaux/corps/morphismes et en deuxième année il y a des relations d'équivalences+groupes quotients,groupes cycliques et groupes finis. Bref, même le théorème de Lagrange est HP... Par contre j'ai l'impression qu'on "bouffe" énormément d'algèbre linéaire ....

Les relations d'équivalence (et ensembles quotients qui en découlent) ne sont plus au programme (je suppose que beaucoup de profs les traitent quand même, même en sup en même temps que les relations d'ordre), le seul exemple de groupe quotient en MP est Z/nZ, et les groupes cycliques et finis ne doivent pas être étudiés de manière systématique (on donne juste la définition). Le programme d'algèbre générale a été diminué lors du dernier changement de programme, avant en MP il y avait les actions de groupe sur un ensemble, qui permettent de faire plein de choses intéressantes, maintenant il n'y a quasiment plus que des définitions et des exemples.

par **Nightmare** » 15 Aoû 2010, 13:30

Attention avec l'algèbre structurelle, c'est très traitre... Apprendre et comprendre les définitions, à priori ce n'est pas trop difficile, et c'est en général ce que se contentent de faire les élèves qui suivent ce cours pour la première fois. Le problème c'est qu'arrivé en fin de sup, on pense que c'est tout, qu'on a vu les groupes, les anneaux, les corps, donc qu'on a fait à peu près le tour, et on se donne l'idée que l'algèbre structurelle n'est qu'un ensemble de définitions à connaitre, qu'on n'aura qu'à rappeler pour résoudre les exercices, ce qui est bien entendu loin d'être le cas.

Je conseille à personne de s'avancer sur ce point du programme, ça risque de vous donner une mauvaise idée de la notion. En fait, je pense que pour bien enseigner l'algèbre structurelle en sup, il ne faut pas en faire un chapitre à part entière.

par **benekire2** » 15 Aoû 2010, 13:46

Salut a vous deux !

Relations d'équivalences HP en spé :doh: C'est bizarre ça ..

Nightmare -> Évidemment, j'imagine qu'une branche des maths ne se borne pas a des définitions ( quelle utilité ? ) mais j'apprécie le principe de travailler dans un cadre assez général. Après j'en connait 10 fois trop peu en maths pour préférer une branche à une autre ... :zen:

Concernant l'enseignement de l'algèbre des structures , dans la plupart des livres les notions sont regroupés dans un même chapitre mais il est fortement conseillé d'apprendre ces notions de manière progressive.

par **Nightmare** » 15 Aoû 2010, 13:54

benekire2 a écrit:
Relations d'équivalences HP en spé :doh: C'est bizarre ça ..

Entre ce qui est officiellement au programme de prépa, et ce qui y est officieusement enseigné, il y a une très grande marge!

par **benekire2** » 15 Aoû 2010, 14:07

Oui j'imagine bien ... si on prépare aux ENS-X a mon avis vaut mieux maîtriser bien commey faut ... :zen:

par **Nightmare** » 15 Aoû 2010, 14:09

Bizarrement non, les concours collent au programme et les outils qui n'y sont pas vu sont détaillés en début des feuilles d'énoncé.

par **benekire2** » 15 Aoû 2010, 14:19

Je suis trop jeune pour ces concours :zen: Cela dit les "bons" HP doivent bien aidé a maîtriser les notions au programme ?

par **Finrod** » 15 Aoû 2010, 16:56

leon1789 a écrit:Nan nan :id:
Un espace vectoriel n'est pas forcément une algèbre car un espace vectoriel n'a pas de structure d'anneau a priori.

Oui, le lapsus. je voulais dire module sur un corps.

par **abcd22** » 16 Aoû 2010, 16:32

Nightmare a écrit:Bizarrement non, les concours collent au programme et les outils qui n'y sont pas vu sont détaillés en début des feuilles d'énoncé.

Ce n'est pas bizarre, les gens qui s'occupent du concours des ENS n'ont pas envie d'avoir des réclamations d'élèves à cause de hors-programme, ni de rejeter d'éventuels bons candidats qui n'auraient pas fait de hors programme (il arrive que des gens soient admis aux ENS en étant dans une prépa où les écoles visées sont plutôt les CCP et en n'ayant pas eu de préparation spécifique en plus pour les concours de plus haut niveau, même si c'est rare); en revanche je me rappelle avoir lu des rapports de concours des ENS où le jury ne se privait pas de critiquer la suppression de certaines notions du programme.

par **Nightmare** » 16 Aoû 2010, 17:04

Hello abcd22, je suis tout à fait d'accord ! C'était plus un "bizarrement" dû au fait que, vu qu'on dit de ses concours que ce sont des concours d'un très haut niveau, ce n'est pas pour autant qu'ils ne sont pas "au programme".

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