Quelques questions sur les fonctions de plusieurs variables

[wdbg59]

Bonjour, en vu d'un examen la semaine prochaine, je fais plusieurs annales. J'arrive à tout faire (intégrales doubles, curvilignes, hessien, jacobien, ect...., à part 3 types de questions qui peuvent tomber à l'examen.

1) Comment déterminer la distance d'un point M(a,b,c) à une surface d'équation z=f(x,y). Par exemple la distance du point P(1,3,1) à la surface d'équation x²+y²-z²=1. Je ne cherche pas une formule à appliquer mais le raisonnement. J'ai pensé à utiliser le gradient, car le gradient d'une surface, c'est la normale à la surface. Mais je vois pas comment l'utiliser.

2) Comment vérifier qu'une fonction f(x,y,z)=Co définit implicitement la variable z en fonction de x et de y au voisinage d'un point (a,b,c). Je sais qu'on doit vérifier plusieurs conditions, comme la dérivée partielle de f par rapport à z soit différent de 0. Après je cherche un point (a,b,c) qui vérifie f(a,b,c)=Co ET df(a,b,c)/dz différent de 0. Le problème c'est que dans la plupart des exos, trouver un point (a,b,c) de tête c'est impossible. Ensuite je sais pas comment faire.

3) Comment montrer qu'une fonction du style f(x,y)=(x^4 + y^4)/(x² + y²) si (x,y) différent de (0,0) et f(x,y)=0 si (x,y) = (0,0) est de classe C1 ? Je sais qu'on doit vérifier la continuité de f(x,y) ainsi que la continuité des dérivées partielles en (0,0) mais comment concrètement ?

[zygomatique]

salut

on cherche le minimum de la fonction H --> d(M, H) où H est un point de la surface ....

[wdbg59]

Donc ca fait (x-1)² + (y-3)² + (-1+x²+y²) la distance de P à la surface ? Je vais chercher x et y.

[wdbg59]

J'ai réussi le 1). Pour le 2), j'ai compris comment faire. Me reste le 3), je vois pas comment faire pour prouver que cette fonction est de classe C1.

[arnaud32]

le seul probleme est en zero ou tu vas devoir le faire a la main

[zygomatique]

oui et l'expression sera probablement plus aisé ...

on ne s'occupe que de la fraction ....

[chan79]

J'ai réussi le 1)

Tu trouves 1.356 environ ?

[wdbg59]

Je trouves 1,244... après de "longs" calculs... Si les calculs sont très longs, c'est que la méthode est pas bonne en général....

[zygomatique]

puis faut calculer les dérivées partielles ....

[wdbg59]

Oui j'ai calculé les dérivées. Et j'ai cherché les valeurs de x,y tels que le gradient de f vaut 0.

[chan79]

Oui j'ai calculé les dérivées. Et j'ai cherché les valeurs de x,y tels que le gradient de f vaut 0.

tu pourrais chercher dans cette direction
soit (a,b,c) un point de cette surface (d'équation x²+y²-z²=1)
(2a,2b,-2c) et aussi (a,b,-c) sont des vecteurs normaux en (a,b,c)
la normale est définie par
x=a+ka=a(1+k)
y=b+kb=b(1+k)
z=c-kc=c(1-k)
cette normale doit passer par (1,3,1)
1=a(1+k)
3=b(1+k)
1=c(1-k)
Il s'agit donc de déterminer (a,b,c) pour que k existe.
Sachant que a²+b²-c²=1, on a à résoudre une équation en k (avec des outils ...) et on en déduit
les valeurs de a, b et c puis la distance cherchée.
A vérifier ... il y a peut-être plus simple

[wdbg59]

C'est possible. Mais bon, le jour de l'examen, je préfère me raccrocher aux méthodes que j'ai utilisé en annales. Bizzarement, j'avais réussi hier, et là je retente je n'y arrive pas...lol
Quand je calcule les dérivées partielles, j'arrive à une égalité entre les dérivées partielles, le souci c'est que j'arrive pas à me débarrasser de cette racine carrée, où alors ca fait des calculs monstrueux, et en examen ca doit prendre 30 minutes max pour cet exo.