Quelle en est l'interêt???!!!

[Anonyme]

bonjour
j'ai un exo à faire .il comporte 3 question . et c'est la derniere question qui me chagrine.ne vous effrayez en voyant tout ces symboles ; c'est trop facile quand meme.lol.
voila l'énoncé:Soit t $ R-Q. avec 01) Montrer que l'ont peut définir par récurrence pour n>=1 une suite d'entiers non nuls (an) et une suite de réels (tn) avec 0(tn)^-1 = an + t(n+1).
j'ai fait cette question mais j'ai un peu de souci dans la rédaction . pouvez vous m'aidez??

2) On pose po=1=q1 et p1=qo=0 puis pour n>=2
p(n+1)=anpn+p(n-1) et q(n+1)=anqn+q(n-1) et en fin pour n>=0
e(n)=q(n)*t-p(n).
j'ai montrer pour n>=1 tn=(-e(n)/e(n+1)) et 0q(n+1)p(n)-q(n)p(n+1)=(-1)^n mais j'ai bloqué sur
q(n)*abs(e(n+1)+q(n+1)abs(e(n))=1.
j'ai essayé la récurrence mais ça n'a pas marché!! pouvez vous m'aider.

l'exercice s'achève en apothéose avec cette question qui , amon avis , n'a aucune relation avec les questions précédente:

On pose pour n>=1 b(n)=q(n)*abs(e(n)). ON admettra que pour n>=1
min(b(n-1),b(n),b(n+1))<1/rc(5).
Prouver alors que l'inéquation: abs(t-p/q)<=1/(rc(5)q²) avec (p,q) de N*² a une infinité de solutions dans N*².

MERCI et a bientot

[yos]

1) Montrer que l'ont peut définir par récurrence pour n>=1 une suite d'entiers non nuls (an) et une suite de réels (tn) avec 0=2
p(n+1)=anpn+p(n-1) et q(n+1)=anqn+q(n-1) et en fin pour n>=0
e(n)=q(n)*t-p(n).
j'ai montrer pour n>=1 tn=(-e(n)/e(n+1)) et 0<e(n)*(-1)^(n+1)<1 ainsi que
q(n+1)p(n)-q(n)p(n+1)=(-1)^n mais j'ai bloqué sur
q(n)*abs(e(n+1)+q(n+1)abs(e(n))=1.
j'ai essayé la récurrence mais ça n'a pas marché!! pouvez vous m'aider.

car en et e(n+1) sont de signe contraire. Il suffit alors de remplacer en et e(n+1)par leur expression en fct de p,q et tu es ramené à |q(n+1)p(n)-q(n)p(n+1)|=|(-1)^n|=1.

cette question qui , amon avis , n'a aucune relation avec les questions précédente:

tss tss


Une fois sur 3 au moins pour la dernière inégalité, mais comme il y a une infinité de n, on peut la diviser par 3 ça fait toujours une infinité de solutions

[Anonyme]

merci bien Yos
tss tss


Une fois sur 3 au moins pour la dernière inégalité, mais comme il y a une infinité de n, on peut la diviser par 3 ça fait toujours une infinité de solutions
je n'ai pas compris ce passage!!!

ainsi que qn*abs(e(n+1)+Q(n+1)abs(en)=1 je n'ai pas compris pourqoui tu as tout renter valeur abslou.
excuse moi mais je suis pas trop forte en math .
lol
MERCI

[Anonyme]

j'ai compris la question sur les valeurs absolues mais je n'ai pas du tout compris comment t'as fait pour résoudre la dernière question , est ce vrai que tu l'as résolu???

[Anonyme]

en fait je n'ai pas compris pourquoi tu as remplacé q et p par pn et qn ???!!!

[Anonyme]

au secours, s'il vous plait car je doit rendre ce DM demain et j'ai plu le temps
alors Soyez gentil et aidez moi à comprendre la derniere question. je vous en supplie.

[Anonyme]

je crois que personne ne s'interesse à mon message.
j'ai les larmes aux yeux, personne ne pourra m'aider ici, dommage.

[Chimerade]

je crois que personne ne s'interesse à mon message.
j'ai les larmes aux yeux, personne ne pourra m'aider ici, dommage.

Eh ! Faut pas pousser quand même ! Il me semble que yos t'as donné une réponse très complète et très détaillée... Il s'est au contraire beaucoup intéressé à ton problème. D'un autre côté, il me semble que tu as posé ce problème aujourd'hui à 14 H 41... un peu tard pour s'intéresser aux problèmes de la rentrée, la veille de la rentrée...
Il se trouve que yos n'est pas connecté en ce moment, alors patience...

[Anonyme]

tss tss


Une fois sur 3 au moins pour la dernière inégalité, mais comme il y a une infinité de n, on peut la diviser par 3 ça fait toujours une infinité de solutions[/quote]

oui
pardon
mais je n'ai pas compris son texte ci dessus pouvez pouvez me l'expliquer monsieur Chimerade???

[yos]

J'ai dit une fois sur 3 car la dernière inégalité est vraie pour un entier au moins parmi 3 entiers consécutifs. C'est l'hypothèse de l'énoncé que tu as écrite :
"ON admettra que pour n>=1 , min(b(n-1),b(n),b(n+1))<1/rc(5)."

L'inégalité est donc vraie pour au moins un entier parmi 1,2,3 mais aussi
pour au moins un entier parmi 4,5,6, etc.

L'inégalité est bien vraie pour une infinité d'entier n.

Ce qui serait intéressant, ce serait de comprendre le pourquoi de la partie admise, mais ceci ne te concerne pas.

[Anonyme]

ouf Yos est de retour
merci
mais je n'ai pas compris ce passage

L'inégalité est donc vraie pour au moins un entier parmi 1,2,3 mais aussi
pour au moins un entier parmi 4,5,6, etc.
L'inégalité est bien vraie pour une infinité d'entier n.

pourquoi tu as choisi au juste 1,2,3 et puis 4,4,6. moi je ne vois pas la relation de cette question avec les question 1) et 2) !!!!

Ce qui serait intéressant, ce serait de comprendre le pourquoi de la partie admise, mais ceci ne te concerne pas.[/quote]

pouvez vous me dire l'utilité de la partie admise??!! comme ç je comprendrai mieux l'interet de cet exo!

A vri dire je l'ai pas tres bien compris.

[Chimerade]

oui
pardon
mais je n'ai pas compris son texte ci dessus pouvez pouvez me l'expliquer monsieur Chimerade???

C'est pourtant limpide !

Maintenant, si c'est le remplacement de p et q par et qui te perturbe, n'oublie pas la question : montrer qu'il existe une infinité de couples (p,q) qui vérifient cela !

On vient de démontrer que c'est vrai pour et , mais cela quel que soit n. Alors, que reste-t-il à démontrer ? Qu'il y a une infinité de couples qui vérifient ces relations ! C'est à dire que la suite des ne prendra jamais fin.

Or, je pense que tu l'as compris, ce processus donne des approximations rationnelles toujours plus précises du nombre t. Si ce processus prend fin à un moment, c'est que l'un des sera nul et cela ne peut se produire que si t est rationnel car alors . A toi de le démontrer...Comme on sait que t n'est pas rationnel, cela ne peut se produire et le suite des est infinie

[Chimerade]

[quote="yos"]
"ON admettra que pour n>=1 , min(b(n-1),b(n),b(n+1))= 1, ait un rapport avec le nombre d'or...Mais j'avoue que cette idée mène dans une impasse...

[yos]

merci
mais je n'ai pas compris ce passage

L'inégalité est donc vraie pour au moins un entier parmi 1,2,3 mais aussi
pour au moins un entier parmi 4,5,6, etc.
L'inégalité est bien vraie pour une infinité d'entier n.

pourquoi tu as choisi au juste 1,2,3 et puis 4,4,6. moi je ne vois pas la relation de cette question avec les question 1) et 2) !!!!


pouvez vous me dire l'utilité de la partie admise??!! comme ç je comprendrai mieux l'interet de cet exo!

A vrai dire je l'ai pas tres bien compris.

Il m'a fallu ce forum pour réaliser à quel point j'explique mal. Moi qui rèvait d'enseigner les maths. Mais je m'égare :
Dans la dernière formule, rappelée par Chimerade, j'utilise l'inégalité
qui n'est pas toujours vraie. L'hypothèse de l'énoncé min(b(n-1),b(n),b(n+1))<1/rc(5) signifie qu'elle est vraie pour au moins un des trois nombres b(n-1),b(n),b(n+1) (le plus petit), et cela me suffit pour conclure à une infinité d'indices k tels qu'elle soit vraie : l'inégalité est vraie pour au moins un entier parmi 1,2,3 mais aussi
pour au moins un entier parmi 4,5,6, etc.
Je ne vois pas ce qui te gêne. Tu voudrais prendre 1,2,3, et ensuite 2,3,4 ? Mauvaise idée que je te laisse méditer.
On peut dire que l'on extrait une suite de la suite (pn,qn) telle que

Enfin pour conclure à l'infinité des couples (p,q) il faut encore justifier du caractère non stationnaire de la suite et il faut regarder ce qu'a dit "monsieur" Chimerade pour ça.

Quant à l'hypothèse de l'énoncé min(b(n-1),b(n),b(n+1))<1/rc(5) on peut penser que sa preuve est trop dure pour l'exercice. Je n'ai pas regardé ce point là.
Le thème de l'exercice est l'approximation diophantienne, c'est-à-dire l'approximation de réels par des rationnels. On montre ici que les irrationnels se laissent "bien" approcher par des rationnels.