Que dire à partir d'une représentation graphique en ACP?

[AntoineCompagnie]

Je suis en train d'étudier l'Analyse par Composantes Principales mais j'ai du mal à commenter mes résultats (je crois)

J'ai une matrice des données:



j'ai dû d'abord calculer le centre de gravité g (1,1,1), Y la matrice des données centrées


et V la matrice de covariances. evec $$V=\frac{1}{n}Y^tY$$



On vérifie ensuite que



sont valeurs propres or le premier est associé à une valeur propre nulle. par résolution de système je trouve le troisième vecteurs propres. Les deux derniers vecteurs soont associés aux veleurs propres:



Je crée alors ladite "matrice explicative" qui vient de la normalisation des vecteurs, c'est à dire de la division par leurs normes:



en faisant j'obtiens:





La question est alors

1. Que peut on dire de cette représentation graphique?
2. Quel est l'individu qui contribue le plus à l'inertie du premier axe factoriel?

Et là, je n'en ai aucune idée. Même en regardant dans le livre de Gilles Saporta...

[fatal_error]

hello,

Pour commencer par rapport à V,
c'est une matrice de dim 3, donc seulement trois valeur propres (au plus).

Ensuite tu la diagonalises pour trouver les vecteurs propres (==axes factoriels) et leur valeur propre associée.

Tu obtiens V = PDP-1 (P matrice de passage, D contient les valeurs propres).
Tu orthonormes P pour pour obtenir P_1,P_2,P_3 et pouvoir dire:
Mon premier échantillon (de Y) contribue un peu à P_1, un peu à P_2 et aussi à P_3.
(idem avec la deuxième ligne de Y, et troisieme, etc)

Si je nomme P2 la matrice P orthonormée,
alors tu projettes Y sur P_1,P_2,P_3 pour exprimer V en fonction des axes factoriels.

idem tu calcules Y*P2
Si tu obtiens (j'ai pas vérifié tes résultats) qqch comme ta matrice C tout à la fin alors:

par exemple:
le dernier sample ([0,2]) est celui qui exprime le plus l'axe fonctionnel lié à P_2.
Réciproquement ([-1,0]) celui lié à P_1.

Si tu regardes la rep graphique, x c'est les abscisses (idem P_1) et y les ordonnées (car deuxieme colonne de C) donc P_2.
De fait le premier axe fonctionnel est kifkif selon ta donnée (de part et d'autre de 0) alors que suivant y, la donnée à tendance à etre positive et suivre l'axe.

concernant la deuxieme question, clairement aucun car beaucoup sont à +- 1 de distance de 0.

Il faut etre sur que dans C tu as bien mis en premiere colonne le vecteur propre correspondant au lambda le plus gros. (si c'était pas le cas, ca voudrait dire qu'en fait x et y ont été interchangés et donc le point de ouf sur le premier axe fonctionnel est [0,2])

[AntoineCompagnie]

Merci! Ca m'éclaire pas mal les idées!
Il est probable que je me sois trompé dans les axes, que je n'ai pas bien mis en premiere colonne le vecteur propre correspondant au le plus gros et que l'individu qui contribue le plus à l'inertie du premier axe factoriel soit finalement sur l'axe .

Je vais vérifier tout ça et je reviens!