Quaternion et ternion

[groupe]

Je n'arrive pas à trouver les valeurs de a,b,c

J'ai peut être juste trouvé que b=0 avec :
phi(f(V),f(Y))=phi(V,Y) <=> phi(V,aY+bV+cVY)=0
<=> aphi(V,Y)+bphi(V,V)+cphi(V,VY)=0
or phi(V,Y)=0, phi(V,V)=1 et phi(V,VY)=phi(VY,V)=0
donc b=0

[Ben314]

Ben ,ça semble "relativement naturel" : T c'est un espace vectoriel de dimension 3 qui en plus est muni d'un produit scalaire phi et lorsqu'on te demande d'écrire X sous la forme kV+Y avec Y orthogonal à V, ça commence à sentir plein pot la notion de base orthogonale, c'est à ire à compléter la famille orthogonale (V,Y) donnée par l'énoncé en une base orthogonale.
En plus, si tu as deux vecteurs orthogonaux V et Y et que tu veut compléter pour faire une base orthogonale, LE outil adapté, c'est le produit vectoriel vu que V^Y (produit vectoriel) est orthogonal à la fois à V et à Y.
Et je sais pas si tu as réagi vu que c'est très nouveau pour toi, mais la multiplication dans les quaternion, par certains cotés, ça ressemble plus que beaucoup au produit vectoriel : ton E1*E2=E3 et E2*E1=-E3, c'est plus que proche de i^j=k et j^i=-k (où (i,j,k) est une base orthonormée directe de R^3).

Bref, ça peut venir à l'esprit de procéder de la sorte et, évidement, ça vient plus facilement à l'esprit si on connait pas mal les quaternions et toutes les applications que ça peut avoir, donc ça me vient évidement plus facilement à l'esprit qu'a toi.
Sinon, si tu trouve pas ça naturel, laisse tomber : de toute façon, je suis pas certain que ça soit bien plus simple que la façon dont tu as procédé...

[Ben314]

J'ai peut être juste trouvé que b=0 avec :
phi(f(V),f(Y))=phi(V,Y) <=> phi(V,aY+bV+cVY)=0
<=> aphi(V,Y)+bphi(V,V)+cphi(V,VY)=0
or phi(V,Y)=0, phi(V,V)=1 et phi(V,VY)=phi(VY,V)=0
donc b=0

Oui, c'est bon.
Par contre, as-tu réussi à montrer que (Y , V , VY) était orthogonale, c'est à dire que phi(Y , VY) = phi(V , VY) = 0 ?

Sinon, tu as aussi phi(f(Y),f(Y))=phi(Y,Y) ainsi que phi(f(VY),f(Y))=phi(VY,Y) qui devrait te donner des infos sur a et c , à priori, que a²+c²=1 (en utilisant le fait que f(VY)=f(V)f(Y)=Vf(Y)=aVY-cY pour la deuxième).
Par contre, je vois pas trop comment faire "apparaitre" le sin(2u) et le cos(2u)

[groupe]

Oui en fait le fait phi(Y , VY) = phi(V , VY) = 0 c'est un résultat qu'on avait déjà montré, j'ai oublié de le marquer

D'accord je vais essayer ça pour trouver des infos sur a et c

[groupe]

Je pense que je vais garder la première méthode même si c'est peut être pas celle attendue.

J'avais une autre question, parce que l'on s'est rendu compte dans mon groupe que l'on avait mal prouvé le fait :
phi(f(X),f(Y))=phi(X,Y)
cos(f(X),f(Y))=cos(X,Y) avec cos(X,Y)=(phi(X,Y))/(racine(N(X)*N(Y)))
Pourriez vous nous aider à le prouver s'il vous plait ?

[Ben314]

On peut éventuellement y aller à la bourrin de façon complètement calculatoire, mais ça risque d'être super long.

A priori, le problème, c'est que si tu as que la définition "calculatoire" de phi, c'est la m... vu que tu fait pas trop le lien avec le reste.
Donc je te proposerais bien de commencer par montrer que, si et sont deux ternions et que alors (Ré=partie réelle ; tr=trace)

Avec ça, tu démontre les doigts dans le nez la première des deux formules, tu en déduit que N(f(X))=N(X) puis tu en déduit la deuxième formule.

[groupe]

J'ai réussi à le montrer mais du coup ça voudrait dire que je dois avoir phi(f(x),f(y))=-a0 mais là par contre je bloque.. faut que je calcule f(x)*f(Y) ? je dois louper un truc..

[groupe]

Par contre pour la deuxième, est ce que c'est bon ça :


cos(f(X),f(Y))=phi(f(X),f(Y))/racine(N(f(X)*N(f(Y))=phi(X,Y)/racine(N(f(X)*N(f(Y))
Or f(X)=RXR^(-1) avec R quaternion unitaire donc N(R)=1 et f(Y)=RXR^(-1)
On sait que R^(-1)=(1/N(R))*conjuguédeR donc N(R^(-1))=N(conjugué deR)=N(R)=1 et on a la propriété suivante : N(AB)=N(A)N(B)
donc cos(f(X),f(Y))=phi(X,Y)/racine(N(f(X)*(f(Y))=phi(X,Y)/racine(N(RXYR^(-1))=phi(X,Y)/racine(N(R)*N(XY)*N(R^(-1))=phi(X,Y)/racine(N(XY))=phi(X,Y)/racine(N(X)N(Y))=cos(X,Y)

[Ben314]

faut que je calcule f(x)*f(Y) ? je dois louper un truc..

Oui, mais c'est "fingers in the nose" :
et, comme la trace est invariante à changement de base près, tu as et c'est fini.

[groupe]

Ahhh d'accord mais du coup ça veut dire que les matrices f(X)f(Y) et XY sont semblables et que du coup R c'est la matrice de passage non ?
Parce qu'après ya une question qui est :
qu'en déduire pour F la matrice de f dans la base {E1,E2,E3} et du coup est ce qu'il y a un lien ou pas du tout et je mélange tout..

[Ben314]

Ahhh d'accord mais du coup ça veut dire que les matrices f(X)f(Y) et XY sont semblables et que du coup R c'est la matrice de passage non ?

Oui, mais ça a rien de surprenant vu que déjà, au départ, tu avais f(X) et X qui étaient semblables avec R comme matrice de passage (ainsi que f(Y) et Y avec la même matrice de passage)

Parce qu'après ya une question qui est :
qu'en déduire pour F la matrice de f dans la base {E1,E2,E3} et du coup est ce qu'il y a un lien ou pas du tout et je mélange tout..

Non, là, ça a a peu prés rien à voir : les quaternions (tels qu'ils sont présentés dans cet exercice), donc par exemple R, c'est une matrices 2x2 à coefficients complexes.
Alors que ton endomorphisme f, il va de T->T où T est un espace vectoriel réel de dimension 3 donc la matrice F, c'est une matrice 3x3 à coefficients réels.
Et pour l'écrire, je pense pas qu'il y ait bien d'autre méthode que de revenir à la définition de "la matrice d'un endomorphisme ??? dans la base ???", c'est à dire ici à calculer les trois images par f des éléments de la base {E1,E2,E3} et à mettre en colonne les coordonnées (dans la base {E1,E2,E3}) de ces trois images pour fabriquer la matrice F.

[groupe]

D'accord oui c'est vrai, je me mélange un peu tout à force..

Oui pour la matrice F nous l'avons déjà c'était demandé dans une question précédente et en fait avec cette question où ifaut montrer ces deux égalités on doit déduire quelque chose sur cette matrice F mais je ne vois pas quoi..

Avez-vous vu cette réponse : cos(f(X),f(Y))=phi(f(X),f(Y))/racine(N(f(X)*N(f(Y))=phi(X,Y)/racine(N(f(X)*N(f(Y))
Or f(X)=RXR^(-1) avec R quaternion unitaire donc N(R)=1 et f(Y)=RXR^(-1)
On sait que R^(-1)=(1/N(R))*conjuguédeR donc N(R^(-1))=N(conjugué deR)=N(R)=1 et on a la propriété suivante : N(AB)=N(A)N(B)
donc cos(f(X),f(Y))=phi(X,Y)/racine(N(f(X)*(f(Y))=phi(X,Y)/racine(N(RXYR^(-1))=phi(X,Y)/racine(N(R)*N(XY)*N(R^(-1))=phi(X,Y)/racine(N(XY))=phi(X,Y)/
racine(N(X)N(Y))=cos(X,Y)

[Ben314]

Oui, c'est bon.
Perso, pour montrer que N(f(X))=N(X), je serais plutôt parti de la relation phi(f(X),f(Y))=phi(X,Y) où j'aurais pris Y=X, mais ça change rien.

Le problème dans des exos longs comme ça, c'est qu'arrivé vers la fin, vu que tu as déjà montré pas mal de trucs, il y a souvent plusieurs façon de démontrer les résultats demandés et c'est pas toujours facile de voir laquelle est la plus rapide...

[groupe]

D'accord, merci beaucoup !


Oui c'est vrai, il est long et on se mélange un peu dans tout, en voulant réutiliser tout ce qu'on a déjà vu alors que c'est pas forcément toujours la meilleure manière

[groupe]

N'avez vous pas une idée pour la question :
Qu'en déduire pour F la matrice de f dans la base {E1,E2,E3} ?

On a la question suivante ensuite :
Soit k appartenant à {1,2,3} Rk=E0cosuk+Eksinuk
Déterminer la matrice Fk associée Rk. En déduire la matrice associée à R2R3R1

[Ben314]

Qu'en déduire pour F la matrice de f dans la base {E1,E2,E3} ?

Ce que tu as montré précédemment, c'est que l'endomorphisme f conserve le produit scalaire (et donc la norme) et ça porte un nom : c'est une . . . De plus ça prouve que la matrice associée à f dans toute base orthonormée donc par exemple dans {E1,E2,E3} est . . .
(A la limite, tu peut éventuellement calculer le déterminant de F et en déduire un petit truc en plus qui, si tu as un peu étudié les espaces Euclidien de dimension 3 te donnera la "nature" de f)

Soit k appartenant à {1,2,3} Rk=E0cosuk+Eksinuk
Déterminer la matrice Fk associée Rk. En déduire la matrice associée à R2R3R1

A froid, à part écrire les trois matrices en utilisant les question précédente puis en faire le produit, je ne vois pas bien d'astuce.

[groupe]

ahh oui donc f est un automorphisme et F une matrice orthogonale non ?

Oui voilà c'est ce qu'on a fait donc c'est bon, merci

[groupe]

Il y a une autre partie sur laquelle si vous pouvez m'aider, je suis désolée de vous demander autant de choses, et vraiment merci pour tout depuis le début !
A tout vecteur T on peut associer par un isomorphisme un vecteur colonne de R^3 qui représente ses coordonnées dans la base {E1,E2,E3} Ainsi, cet isomorphisme associera au ternion X=x1E1+x2E2+x3E3, le vecteur noté X'=(x1 x2 x3)

a) Si X et Y sont 2 ternions, on a XY=sE0 + U
Que représentent s et U' pour les vecteurs X' et Y' ?
b) On a vu tout ternion X peut s'écrire X=kV + Y. Si f(X)=RXR^(-1) avec R=E0cosu + Vsinu, en notant Z=f(X), par quelle transformation géométrique passe-t-on du vecteur X' au vecteur Z' ?
Est ce que ce que vous m'aviez dit : l'application X->R*X*R^(-1) de R^3 dans R^3, c'est une rotation d'axe V, cela a un rapport ?

[Ben314]

ahh oui donc f est un automorphisme et F une matrice orthogonale non ?

Vert = O.K. et à la limite, tu peut calculer le déterminant de F et en déduire que F est dans O+(3) [ou toute autre notation pour dire que c'est une matrice orthogonale de déterminant +1] et, si tu as étudié les espaces Euclidiens de dimension 3, tu doit savoir que ça signifie que f est une rotation de l'espace (éventuellement égale à l'identité qui correspond à un angle nul).

Par contre Bleu = pas terrible : certes f est un "automorphisme", mais ce mot traduit uniquement le fait que f est une application linéaire bijective de T->T alors qu'on sait bien plus de chose que ça : elle conserve le produit scalaire (ce qui n'est évidement pas du tout le cas d'un automorphisme "quelconque").
Les mots que tu as du voir pour traduire ce fait, ça risque d'être "f est une isométrie vectorielle" ou bien "f est un élément du groupe orthogonal", voire éventuellement autre chose.

Bon, de toute façon, c'est qu'un problème de vocabulaire (mais c'est évidement important d'employer le bon vocabulaire au bon endroit). La propriété importante étant en fait que "f préserve le produit scalaire et donc la norme" (sachent que les "identités de polarisations" dans le espaces Euclidiens te disent que "conserver le produit scalaire" et "conserver la norme", c'est la même chose)

[Ben314]

A tout vecteur T on peut associer par un isomorphisme un vecteur colonne de R^3 qui représente ses coordonnées dans la base {E1,E2,E3} Ainsi, cet isomorphisme associera au ternion X=x1E1+x2E2+x3E3, le vecteur noté X'=(x1 x2 x3)

a) Si X et Y sont 2 ternions, on a XY=sE0 + U
Que représentent s et U' pour les vecteurs X' et Y' ?
b) On a vu tout ternion X peut s'écrire X=kV + Y. Si f(X)=RXR^(-1) avec R=E0cosu + Vsinu, en notant Z=f(X), par quelle transformation géométrique passe-t-on du vecteur X' au vecteur Z' ?
Est ce que ce que vous m'aviez dit : l'application X->R*X*R^(-1) de R^3 dans R^3, c'est une rotation d'axe V, cela a un rapport ?

Non, a priori, ça a pas vraiment de rapport. (*)
On te demande juste de faire bètement le calcul du produit x1E1+x2E2+x3E3 par y1E1+y2E2+y3E3 puis de l'écrire "en deux morceaux" sE0 + U et enfin de regarder dans le blanc des yeux la valeur du réel ainsi que les coordonnées du ternion U (c'est à dire U') pour voir si ça te rappellerais pas quelque chose de bien connu....
(il me semble en avoir déjà parlé plus haut, mais je sais plus...)

(*) On pourrait en trouver un, mais il faudrait avoir absolument tout bien compris à tout les calculs qu'on a fait et il faudrait aussi très bien maitriser la notion de rotation dans R^3. Donc c'est pas ça qui est attendu ici.