Quaternion et ternion

[groupe]

Bonjour dans le cadre d'un projet, nous devons travailler par groupe sur des exercices de mathématiques.
Je vous demande donc votre aide pour nous aider à répondre à une question sur laquelle nous sommes bloqués.
Cette question se décompose en plusieurs sous-questions :

Montrer que tout quaternion unitaire R peut se mettre sous la forme R=Eocosu+Vsinu où V est un ternion unitaire.
On a réussi à le montrer

Montrer que tout élément X de T peut s'écrire sous la forme X=kV + Y, k est un réel et phi(V,Y) = 0
Calculer alors RVR^(-1) et RXR^(-1)
C'est sur ces deux sous-questions que nous bloquons.

Voici des informations sur le sujet :

Nous avons 4 matrices de M2(C) : 
E0= 1 0 E1 : i 0 E2 : 0 1 et E3 : 0 i 
........ 0 1 ..... 0 -i ..... -1 0 .............. i 0

R est un quaternion unitaire c'est à dire que N(R)=1

N(R)=det(R)

R^(-1)=(1/N(R))(r0E0-r1E1-r2E2-r3E3)
et N est définit de la façon suivante N(A)=somme(de k=0 à 3)(ak²) 
avec A= somme (de k=0 à 3)(akEk) avec ak des coefficients réels 

T=vect(E1,E2,E3) donc X est un ternion

phi est l'application de T x T dans R(ensemble des réels) définie par :
phi(X,Y)=somme(de k=1 à 3)(xkyk) avec Y=somme (de k=1 à 3)(ykEk)
et X=somme (de k=1 à 3)(xkEk)

Dans les questions précédentes du sujet nous avons montré que :

phi définit un produit scalaire sur T, que XY est un ternion si et seulement si phi(X,Y)=0
f: l'application définie sur T par f(X)=RXR^(-1) est un endomorphisme de T
phi(f(X),f(Y))=phi(X,Y)
cos(f(X),f(Y))=cos(X,Y) avec cos(X,Y)=(phi(X,Y))/(racine(N(X)*N(Y)))

L'ensemble des quaternions unitaires est un groupe multiplicatif
Q=vect(E0,E1,E2,E3) est un corps non commutatif 


J'espère que vous pourrez nous aider en nous donnant des indications nous permettant de résoudre cette question.

Merci d'avance pour vos réponses.

[Ben314]

Salut,

Montrer que tout élément X de T peut s'écrire sous la forme X=kV + Y, k est un réel et phi(V,Y) = 0

Ca, je sais pas si tu t'en rend bien compte, mais si tu ne précise rien concernant le V et le Y de la formule, c'est sans intérêt. Par exemple, je peut te répondre qu'on prend k=0, V=0 et Y=X ou bien k=1, V=X et Y=0 ou des tas d'autres truc sans le moindre intérêt. Pour que la question soit intéressante, il faudrait demander des trucs plus contraignant que le simple phi(V,Y) = 0.
En lisant le reste de ton laïus, j'aurais éventuellement pu conjecturer que ce que tu avait oublié d'écrire c'était "avec V dans ??? et Y dans ???", mais à froid, je vois pas bien.

EDIT : si, c'est bon.
C'est moi qui ait pas tout lu correctement : le V c'est celui de la question précédente et le Y, je suppose que c'est un ternion quelconque.
Dans ce cas, ça veut dire que les deux seuls trucs à déterminer, c'est k et Y en en fait k suffit vu qu'on prendra forcément Y=X-kV.
Reste à déterminer k pour que phi(Y,V)=0, c'est à dire phi(X-kV,V)=0 et... c'est quasi immédiat...

Ensuite, pour calculer RVR^(-1) et RXR^(-1), tu utilise les trucs vu précédemment, c'est à dire

Et tu évalue sachant qu'évidement, le premier truc à "évaluer", c'est .
Pour te donner une indic, dans , si , c'est quoi ?
Est-ce que ça serait pas "pareil" ici ?
Comment le vérifier super rapidement ?

[groupe]

Pour la première partie de la question je trouve k=v1x1+v2x2+v3x3 (avec vk les coeffs de V et xk les coeffs de X) et du coup vous pensez qu'il suffit de dire ça pour dire que tout élément X de T peut s'écrire sous la forme X=kV + Y


(Merci beaucoup de m'aider !)
Je renverrai une autre réponse pour l'autre partie de la question

[Ben314]

Pour la première partie de la question je trouve k=v1x1+v2x2+v3x3 (avec vk les coeffs de V et xk les coeffs de X) et du coup vous pensez qu'il suffit de dire ça pour dire que tout élément X de T peut s'écrire sous la forme X=kV + Y

Si ça t'amuse, tu peut "redescendre" au niveau des coordonnées, mais à part alourdir l'écriture, je vois pas bien l'intérêt.
Perso, j'aurais juste écrit que :
phi(X-kV,V)=0 <=> phi(X,V)-k.phi(V,V)=0 <=> phi(X,V)-k=0 vu que phi(V,V)=1 (V est unitaire)
donc il y a bien une solution (unique) : k=phi(X,V) et, évidement, Y=X-kV=X-phi(X,V).V

[groupe]

D'accord, merci beaucoup !

Pour la deuxième partie de la question :
vu que z^(-1)=(1/z)
Cela signifie que R^(-1)=1/R ou pas du tout ?

[Ben314]

Pour la deuxième partie de la question :
vu que z^(-1)=(1/z)
Cela signifie que R^(-1)=1/R ou pas du tout ?

Ben... oui et non, mais là, ça serait quand même plutôt non...

Quand tu est dans un groupe quelconque noté multiplicativement (ici, c'est le groupe multiplicatif des quaternions non nuls) les trucs qui sont définis au départ, c'est la notion de multiplication et celle d'inverse qu'on note .
Mais, si le groupe n'est pas commutatif (et c'est le cas ici), il n'y a pas de notion de division vu que (ou , ça change rien), c'est pas clair du tout de savoir si ça désigne ou qui risquent d'être différents.

Bilan :
- Soit tu est dans un groupe commutatif, et tu as le droit de parler de 1/x, sauf que, vu que par définition c'est égal à , on peut pas dire que ça t'avance à quoi que ce soit.
- Soit tu est dans un groupe non commutatif, et là, tu ne peut pas écrire des trucs du style a/b donc normalement, tu es pas sensé écrire 1/x.

[groupe]

D'accord.. mais du coup je ne vois pas ce qu'il faut déduire à partir du fait que R=Eocosu+Vsinu..

[Ben314]

Ben, vu que tu as déjà démontré que les quaternion formaient un corps, ça veut dire que tu as démontré que tout quaternion non nul admettait un inverse.
Et pour le démontrer tu as quasi obligatoirement du exhiber qui était l'inverse d'un quaternion quelconque (*) et tu peut évidement te servir de ça pour déterminer ce que vaut .
Donc tu as qu'à faire comme ça.

(Ce que je te proposait dans mon "indic" çi dessus, c'est de procéder un peu différemment en "intuitant" qui est l'inverse puis en vérifiant que l'intuition était correcte en faisant le produit de R et de celui que tu "intuite" comme étant l'inverse pour vérifier que ça fait 1)

(*) EDIT : tu l'a même écrit en toute lettre dans ton premier post :

R^(-1)=(1/N(R))(r0E0-r1E1-r2E2-r3E3)

[groupe]

Oui c'est vrai et je viens de me rendre compte qu'en fait R^(-1)=(1/N(R))*(conjugué de R)
Je vais essayer de continuer du coup

Dans l'énoncé on conjugué du quaternion A =aoEo - somme(de k=1 à 3)(akEk)

[groupe]

J'ai donc :
R=E0cosu+Vsinu
R^(-1)=E0cosu-Vsinu car (1/N(R))*(conjugué de R) or R unitaire donc N(R)=1

Calcul de R*V=(E0cosu+Vsinu)*V=E0cosuV+V²sinu
Or V²=-E0 donc R*V=Vcosu-E0sinu

Calcul de R*V*R^(-1) =(Vcosu-E0sinu)(E0cosu-Vsinu)
=VE0cos²u-V²sinucosu-E0²cosusinu+VEosin²u
=V

Calcul de RX =(E0cosu+Vsinu)*(phi(X,V)V+Y)
=E0cosuphi(X,V)V + YE0cosu + V²sinuphi(X,V)+YVsinu
=YE0cosu+YVsinu

Calcul de R*X*R^(-1) =(YE0cosu+YVsinu)*(E0cosu-Vsinu)
=YE0cos²u-VYcosusinu+YVcosusinuE0-V²Ysin²u
=Y

Je n'étais pas sûre de pouvoir développer comme je l'ai fait, néanmoins j'ai fait tous les calculs en développant tout pour RVR^(-1) et j'ai trouvé le même résultat, je me suis donc dit que c'était possible mais je n'en suis pas sûre

[Ben314]

Pour R*V*R^(-1), c'est bon, ça fait bien V.
A la limite, il y avait un peu plus rapide (et joli) : comme R=?.E0+?.V où E0 et V commutent avec V, c'est que R commute avec V donc R*V*R^(-1)=V*R*R^(-1)=V.

Par contre, pour R*X*R^(-1), ça déconne de partout.

Calcul de RX =(E0cosu+Vsinu)*(phi(X,V)V+Y)
=E0cosuphi(X,V)V + YE0cosu + V²sinuphi(X,V)+YVsinu <= Le dernier terme, c'est VY et pas YV : on est dans un corps non commutatif.
=YE0cosu+YVsinu <= Il manque deux termes vu que phi(X,V)=k est en général non nul. De plus, le E0 ne sert à rien vu que E0 c'est la matrice identité
Bref, RX=cos(u).Y+sin(u).VY (en général, lorsque l'on fait un produit "scalaire par vecteur" ou "scalaire par matrice", on met le scalaire avant le vecteur ou la matrice et pas après : on écrit plutôt que )

A mon avis, vu le début de la question, ce qui est attendu comme réponse au départ, c'est que
R*X*R^(-1) = R*(k.V+Y)*R^(-1) = k.R*V*R^(-1)+R*Y*R^(-1) = k.V+R*Y*R^(-1)
Par contre, concernant le R*Y*R^(-1), je sais pas trop ce qui est attendu comme réponse.
Comme géométriquement parlant, l'application X->R*X*R^(-1) de R^3 dans R^3, c'est une rotation d'axe V il est possible que la réponse attendue soit ça :
R*Y*R^(-1) = (cos²(u)-sin²(u)).Y+2cos(u)sin(u).V*Y= cos(2u).Y+sin(2u).V*Y
Mais si on le fait entièrement de façon calculatoire, ça demande à démontrer pas mal de "petits trucs", plus précisément partant de phi(Y,V)=0, il faut montrer que Y*V = -V*Y puis que V*Y*V = Y.

[groupe]

D'accord pour RVR^(-1)

Oui je sais pas pourquoi j'ai simplifié, c'était pas du tout ça
Mais par contre du coup je n'ai pas réussi à montrer que V*Y*V=Y

[Ben314]

As-tu montré que Y*V=-V*Y ? (pas super évident : sans doute à écrire en "redescendant" au niveau des coordonnées)
Si oui, V*Y*V=V*(-V*Y)=-V²*Y et il te reste à montrer que V²=-E0 en utilisant le fait que V est un ternion unitaire.

[groupe]

Oui j'ai réussi à le montrer en développant tous les calculs des matrices, c'est long mais bon ça fonctionne
Ah oui d'accord, c'est bon alors parce que j'avais déjà réussi à montrer que V²=-E0

[groupe]

Du coup c'est bon pour ces questions.

Merci beaucoup pour votre aide !!!

[Ben314]

En fait, j'avais pas regardé en détail tout ce que tu avais écrit.
En regardant ça :

f: l'application définie sur T par f(X)=RXR^(-1) est un endomorphisme de T
phi(f(X),f(Y))=phi(X,Y)
cos(f(X),f(Y))=cos(X,Y) avec cos(X,Y)=(phi(X,Y))/(racine(N(X)*N(Y)))

Je me dit que la méthode "à la bourrin" (i.e. sans utiliser les précieux résultats ci dessus) que je t'ai incité à suivre n'est sans doute pas celle qui est attendu.
A la limite, essaye de terminer "à la bourrin" puis regarde éventuellement s'il y aurais pas moyen de faire plus rapide (et plus jolie) en utilisant les résultats ci dessus.
A mon avis, c'est plutôt ça qui risquait d'être attendu : je regarderais ce soir, là j'ai pas le temps...

[groupe]

D'accord, pas de problèmes et encore merci, je regarderai ça ce soir aussi

[groupe]

J'ai essayé plusieurs choses à partir de ces résultats mais ça ne m'a rien donné..

[Ben314]

Je pense que si on veut utiliser ces formules de façon "maline", le truc à montrer au départ, c'est que si on suppose Y non nul, (V , Y, V*Y) est une base orthogonale de T pour le produit scalaire phi (i.e. que les vecteurs sont 2 à 2 orthogonaux, mais pas forcément de norme 1).
Déjà ça prouverais que RYR^(-1)=f(Y), vu qu'il est dans T (déjà démontré) s'écrit forcément sous la forme a.Y+b.V+c.V*Y où a,b,c sont des réels dépendant de V et de Y et ensuite, grâce aux fameuses formules, on risque d'arriver à évaluer assez rapidement les valeurs de a, b et c en fonction de V et de Y.

A voir si c'est plus rapide/plus simple ou pas que la "méthode bourrin"...

[groupe]

Je ne comprends pas d'où sort cette base orthogonale, comment la trouver..