Quaternion et ternion

[groupe]

D'accord pour le vocabulaire, merci.

En calculant XY
je trouve XY=sE0 +U
avec s=-phi(X,Y))
et U=(x2y3-x3y2)E1+(-x1y3+x3y1)E2+(x1y2-x2y1)E3
donc U'=(x2y3-x3y2 ; -x1y3+x3y1 ; x1y2-x2y1)
Par contre je ne vois pas quelque chose de bien connu

[Ben314]

Pour s, c'est effectivement -phi(X,Y), mais je pense que ce qui était attendu, c'est que tu dise que s=-(x1y1+x2y2+x3y3) et que x1y1+x2y2+x3y3 c'est l'expression du produit scalaire usuel dans R^3.
Donc s, c'est l'opposé du produit scalaire de X' et Y'.

Concernant U', c'est légèrement moins "évident", mais en fait, c'est le produit vectoriel de X' et de Y'.

[groupe]

Ahhh oui d'accord, merci beaucoup !

[groupe]

Pour la dernière question je ne vois pas quoi dire, j'aurais pensé comme je vous ai dit à la rotation mais sinon je ne sais pas..

[Ben314]

J'avais (une fois de plus...) lu ton truc de travers... et j'avais pas vu la question b) :

a) Si X et Y sont 2 ternions, on a XY=sE0 + U
Que représentent s et U' pour les vecteurs X' et Y' ?
b) On a vu tout ternion X peut s'écrire X=kV + Y. Si f(X)=RXR^(-1) avec R=E0cosu + Vsinu, en notant Z=f(X), par quelle transformation géométrique passe-t-on du vecteur X' au vecteur Z' ?
Est ce que ce que vous m'aviez dit : l'application X->R*X*R^(-1) de R^3 dans R^3, c'est une rotation d'axe V, cela a un rapport ?

Donc je reprend :
Le truc écrit en bleu, n'a (évidement) rien à voir avec la question a).
Par contre c'est très clairement la réponse attendue à la question b) :
Z', c'est l'image de X' par la rotation d'axe V' (*) et d'angle 2u
Il y a plein de façon de le démontrer qui dépendent du bagage que tu as concernant les isométries vectorielles de R^3.
Si tu ne sait "pas grand chose", le plus simple, c'est peut être d'écrire la matrice de f dans une base orthonormée directe de la forme (V ; ? ; ?) et de vérifier que cette matrice est (**)
Sinon, tu as peut-être déjà vu ce que j'ai dit quelques posts plus haut : vu que f conserve le produit scalaire et que son déterminant est +1, c'est un élément de O+(3) c'est à dire une rotation vectorielle.

(*) En supposant que V est non nul, c'est à dire que R est distinct de E0.
Si R=E0 alors f c'est l'identité qui est bien une rotation, mais "très spéciale" d'angle nul et qui n'a pas d'axe particulier (n'importe quel droite peut être pris comme axe)
(**) Je me demande si tu l'a pas déjà fait ça d'ailleurs (attention à vérifier que la base est directe si on veut avoir le bon signe pour l'angle de la rotation)

[groupe]

Ah oui d'accord je vois mieux du coup
En fait cette matrice là correspond à la matrice F1 que nous avons calculé
du coup je ne vois pas très bien comment le justifier clairement

[Ben314]

Vu de mon coté, LA question que je me pose, c'est "que sait tu des rotations de R^3" ?

Si tu sait qu'une application linéaire qui a une matrice du type de celle ci dessus (dans une b.o.n.d) est une rotation, ben c'est fini : la matrice est une matrice de rotation donc... l'application c'est une rotation.

Par contre, si tu le sait pas, ben c'est chiant vu qu'il va falloir le démontrer et qu'en plus, dans ce cas, ça risque de vouloir dire que tu as pas de définition "super carrée" de ce qu'est une rotation dans R^3 donc je sais pas trop de quoi il faut partir...