Quarternions unitaires (2éme année de classe prépa scientifi

[Roxanne31700]

Bonjour à tous,

Je dois montrer que l'ensemble des quaternions unitaires est un groupe multiplicatif, j'ai trouvé le symétrique, l'élément neutre, la loi de composition interne. Mais je ne réussi pas l'associativité, je procède en multipliant tout mais cela fait un calcul très long ... yaurait-il une astuce de calcul ?

Merci

Sujet : Soient les matrices de M2(C) suivante :
E0 = (1 1) E1= ( i 0 ) E2= ( 0 1) E3 =( 0 i)
( 0 1) (0 -i) (-1 0) (i 0)
un quaternion R est dit unitaire si N(R)=1
T=vect ( E1; E2; E3 )
énoncé de la question : Montrer que l'ensemble des quarternions unitaires est un groupe multiplicatif.

[zygomatique]

salut

c'est quoi la norme N ?

tout quaternion unitaire ne s'écrit-il pas avec

[Ben314]

Salut,
Sans vouloir être méchant, il me semble bien que dans ton exo, les quaternions sont définis comme des (cas particulier de) matrices.
Or l'associativité du produit matriciel, il me semble tout de même que, comme qui dirait, tu en déjà entendu parler, non ?

P.S. Et je sais pas comment on t'a présenté l'associativité du produit matriciel (avant ou après avoir vu que ça correspond à des endomorphisme), mais effectivement, si on cherche à le montrer "à la bourrin", c'est pas archi compliqué, mais c'est passablement chiant vu la lourdeur des notations...

[Ben314]

salut
c'est quoi la norme N ?
tout quaternion unitaire ne s'écrit-il pas avec

Si A est une matrice de quaternion, c'est à dire de la forme avec alors tu montre facilement que
(le c'est l'équivalent du conjugué dans C et la formule précédente, c'est l'équivalent de la formule dans C)

Et les quaternions unitaires, c'est les avec soit encore où et (c'est l'équivalent du cercle trigo. complexe).
Et il y a une (très grosse) infinité d'éléments là dedans (topologiquement parlant c'est la sphère qui, via une projection stéréographique, est homéomorphe à plus un point "à l'infini")

[zygomatique]

ha oui effectivement j'en ai oublié plein !! .... (je ne me rappelais plus pour la norme et c'est pourquoi je posais la question en préambule)

merci pour ces rappels ...