Quadriques et fibré

[Ben314]

Si, tu en a déjà vu des tonnes. C'est juste le terme "d'invariants" que tu as sans doute jamais entendu.

Par exemple, rien que dans le cas des homéomorphismes, si deux espaces topologiques X et Y sont homéomorphes alors :
- X est compact ssi Y l'est (-> "être compact" est un invariant)
- X est simplement connexe ssi Y l'est (-> "être simplement connexe" est un invariant)
- X et Y ont le même nombre de composantes connexes (-> le nombre de composantes connexes est un invariant)
Et c'est évidement des trucs de ce style là qu'on utilise pour montrer que deux espaces topologiques ne sont pas homéomorphes. Par exemple S^1 et [0,1] ne sont pas homéomorphe car
- [0,1] est simplement connexe mais pas S^1 (demande à connaitre la notion de simple connexité)
ou bien (pas mal plus simple)
- [0,1]\{0.5} est non connexe alors que S^1 privé d'un point (quelconque) l'est.
ou bien
-[0,1]\{0;1} est connexe alors que S^1 privé de deux points (distincts quelconques) ne l'est jamais.

Concernant les difféomorphismes entre variété, ben au minimum, ce que tu as vu comme invariant, c'est la dimension (mais évidement tu as tout les invariants d'homéo. que tu peut aussi utiliser).

Après, là où je sais pas où tu en est, c'est des trucs comme la notion de "variété orientable" sait tu ce que c'est ? Parmi les variétés "classiques" sait tu lesquelles sont orientables ?
Sinon, les "gros invariants" (d'homéomorphisme) que sont les groupes d'homotopie et ceux d'homologie je pense pas que tu les ait vu.

Enfin, bref, pour montrer que S_3 n'est pas difféomorphe (ni même homéomorphe) à S^1xS^2, il faut que tu trouve une propriété stable par difféomorphisme (ou par homéomorphisme) c'est à dire un invariant qui soit vrai pour un seul des deux espaces.
Le premier truc à regarder pour des variétés, c'est évidement la dimension, mais là, c'est 3 pour les deux.

[Lostounet]

Effectivement, je n'ai pas vu "le groupe d'homotopie et le groupe d'homologie". D'ailleurs, je ne sais pas ce que c'est qu'une variété mais uniquement j'ai dans mon cours des choses autour des "sous-variétés" mais je pense pas que cela change trop de choses. Je ne sais pas non plus ce que c'est qu'une variété orientable ...

Par contre oui des arguments de connexité j'en ai rencontré ! Du type si on retire un point à [0 ; 1] il perd sa connexité mais pas S1 etc.. (l'exponentielle exp(it) ne renvoie-t-elle pas [0 ; 2pi] sur le cercle ? )

Donc pour en revenir à la question... un argument de connexité ferait-il l'affaire? Ou de composantes connexes?

[Ben314]

Pffff.
Si tu as même pas vu la notion d'orientation, je sais vraiment pas par quel bout il faut que tu t'y prenne pour montrer que S_3 et S^1xS^2 ne sont pas difféomorphe.
Les seuls trucs qui me viennent à l'esprit de pas diaboliquement compliqué, c'est
- De montrer qu'il existe un lacet gamma dans S_3 non homotope à 0 mais tel que gamma^2 soit homotope à 0 alors que ce n'est pas possible dans S^1xS^2, mais ça, déjà tu le "tire pas d'un chapeau" et sans aucun outil adapté, c'est pas complètement trivial...
- De montrer que S^1xS^2 est orientable et pas S_3 : ça, même "à la main", c'est pas super diabolique, mais si tu n'a jamais entendu parler de variété orientable, ça sort pas mal d'un chapeau aussi.

Parce que sinon, ils sont (assez) trivialement connexe tout les deux, si on enlève un (ou plus) points, c'est pas clair de voir ce qu'il reste et ils sont tout les deux non simplement connexe (mais pas de la même façon en fait : c'est l'idée du premier point ci dessus)

Bref, je suis passablement sec sur la façon de procéder...

[Lostounet]

Hmm... et si j'apprends de moi-même ce que c'est qu'une variété orientable ?
Je viens de chercher et j'ai eu des définitions du style V orientable ssi "V possède un atlas tel que toutes les applications de changement de variable sont à jacobien positif" ssi il existe une n-forme différentielle nulle en aucun point.

Ca a pas l'air trivial de prouver qu'une variété est orientable... (surtout quand on sait pas ce que c'est qu'un atlas et une n-forme différentielle)

[Ben314]

Une variété orientable, c'est une variété telle que tu puisse orienter continument les espaces tangents.
Par exemple, pour la sphère S^2 de R^3, les espaces tangents, c'est des plans et un plan P contenu dans R^3, il n'est pas naturellement orienté (i.e.tout dépend de "quel cotés on le regarde"), mais pour l'orienter, il suffit de choisir un des deux vecteurs normaux unitaire au plan P. Si on note n ce vecteur, on décrète ensuite qu'une b.o.n. (i,j) du plan P est directe ssi (n,i,j) est une base directe de R^3 : c'est exactement ce qu'on fait pour définir les angles des rotations de R^3. Donc dans le cas de S^2, si tu prend Xo dans S^2, le plan tangent, c'est celui orthogonal à Xo et tu peut l'orienter en prenant systématiquement Xo comme vecteur normal au plan.
De façon plus générale, une variété M de dim 2 de R^3 qui est le "bord" d'une partie B de R^3 (par exemple S^2 est le "bord" de la boule unité) tu peut systématiquement l'orienter en prenant comme vecteur normal au plan tangent celui que "sort" de B.
Par contre, un truc comme le Ruban de Moëbius, c'est une variété non orientable : si tu prend un plan tangent à un endroit donné que tu oriente à l'aide d'un vecteur normal puis que tu fait faire le tour du ruban à ton plan et ton vecteur normale, une fois revenu au point de départ, le vecteur normal est dans l'autre sens : il n'y a donc pas moyen d'orienter continument les plans tangents au ruban.

[Lostounet]

Est-ce qu'on pourrait le rattacher à la notion de courbure de Gauss par exemple?

[Ben314]

Sauf avec des considération assez compliquées, non, il y a pas de lien direct : la courbure, c'est un truc que tu calcule localement alors que le fait d'être orientable ou pas, c'est évidement uniquement un problème global : localement, une variété de dim d est toujours orientable vu que localement, elle est difféomorphe à un ouvert de R^d.
Par exemple, pour voir que le ruban de Moëbius n'est pas orientable, il faut en faire le tour complet.

Par contre, le truc qui me semble quand même assez surprenant, c'est que tu sache ce qu'est la courbure de Gauss d'une variété (de dim 2 plongée dans R^3 je suppose) sans savoir ce que c'est qu'une variété orientable vu que dans le cas de variétés de dim n-1 dans R^n (donc par exemple de dim 2 dans R^3), la définition est archi simple : une variété est orientable ssi tu as une fonction continue qui, à tout point de la variété, associe un vecteur normal à la surface (i.e. à l'espace tangent) en ce point là. (et là où ça me surprend à fond, c'est que cette notion de "fonction vecteur normal", ben on en a besoin pour définir la courbure...)

De toute façon, la notion de courbure, c'est pas un invariant par difféomorphisme (donc sans intérêt dans le contexte) et en plus, vu qu'on a affaire à des variétés de dim 3 et pas 2, c'est pas trop le bon cadre pour calculer des courbures...

[Lostounet]

D'accord... il m'a semblé qu'il y avait une "idée commune" entre ces deux notions.
En tout cas merci Ben pour ces explications précieuses.... il est donc possible que ce ne soit pas de mon niveau actuellement et je dois donc renoncer à cet énoncé vu que je n'ai pas encore le cours suffisant.

[Ben314]

A part cette question, qui a mon avis (*) est très difficile si on sait pas ce qu'est l'orientation ni les groupes d'homologie et les groupes fondamentaux, le reste, c'est tout à fait jouable et sans grand difficulté.

Et si tu as rien d'autre à f... et que ça t'intéresse, je pourrait peut-être te mettre une série de "question intermédiaires" consistant à construire un truc dans S_3 puis à montrer que le "truc" ne peut pas exister dans S^1xS^2 (et que le truc est un invariant de variétés différentiables)

(*) Il est tout à fait possible qu'il y ait une astuce que je ne voie pas.

[Lostounet]

Merci de proposer Ben!
En tout cas oui cela m'intéresse mais je ne voudrais pas trop t'embêter ...
En plus je sens qu'il me manque quelques bases sur les sous-variétés. Du coup je ne sais pas si j'ai ce qu'il faut pour bien attaquer les questions intermédiaires..

[Lostounet]

Que penses-tu du thm de la boule chevelue pour montrer qu'ils sont pas difféomorphe?
Si on utilise qu'on a un difféo de cette sous-variété vers le fibré unitaire tangent, alors on doit pouvoir trouver un champ de vecteurs qui s'annule nulle part sur S2 (on complète sur S1) et c'est impossible..?

[Ben314]

On t'a démontré le théorème de la sphère chevelu alors que tu as même pas vu ce qu'est une variété orientable ?????
Ton prof, il mettrais pas un peu la charrue avant les bœuf par hasard ?
Là où je comprend encore moins, c'est que pour moi, le truc de la sphère chevelue, ça va franchement dans le sens de bien comprendre ce que veut dire et surtout ne pas dire "être orientable", c'est à dire que ça dit pas du tout du tout qu'il existe des b.o.n.d. "continues" sur les espaces tangents.

Sinon, ça donne effectivement une preuve de la non existence d'un difféo entre les deux (mais je trouve que c'est un peu "un bulldozer pour écraser une mouche" vu le niveau de complexité que demande la preuve du théorème de la sphère chevelue par rapport au niveau bien plus faible qu'il faut pour utiliser l'argument d'orientation)

[Lostounet]

Oui bizarrement nous avons travaillé en Td une preuve de la boule chevelue (une preuve "élémentaire" publiée dans je sais plus quel journal avec 10 astuces par étape et du thm de Brouwer) ....

Tu vois, ce n'est pas entièrement de ma faute toutes ces zones d'ombres

[Doraki]

um ça dit que ne sont pas les mêmes fibrés au-dessus de S², mais pour montrer qu'il n'y a pas de difféomorphisme en général je suis un peu moins sûr.

[Ben314]

Oui, effectivement, même avec ça c'est pas gagné....

@ Lostounet : si tu as un difféo F. de S^2xS^1 dans S_3 vu comme une partie de S^2xS^2 (S_3, c'est les couples (V1,V2) de vecteurs unitaires de R^3 tels que V1 et V2 soient orthogonaux), rien ne te dit que F se présente sous la forme (U1,U2) -> (U1,G(U1,U2)) ni même sous la forme (U1,U2) -> (G1(U1),G2(U1,U2)).

[Lostounet]

Ah bon...

[Ben314]

Ah bon...

Ben oui, c'est exactement tout à fait complètement la même erreur que celle consistant à penser que les parties d'un produit XxY sont toutes de la forme AxB.

Tu voit bien que par exemple f:RxR->RxR;(x,y)->(x+y,x-y), ben ça s'écrit pas (x,g(x,y)) ni (g1(x),g2(x,y)) !!!