Quadrique

[surf-555]

bonsoir j'ai la quadrique d'équation:

5x^2+y^2+z^2-2yx+2zx-6yz+2x+4y-6z+1=0

Je sais qu'il faut écrire la matrice relative , trouver les vecteurs propres , les normer .... Mais apres je sais plus quoi faire pour la nature!
merci d'avance

[surf-555]

y a t-il quelqu'un que ce sujet inspire?

[surf-555]

Je suis désolé j'ai oublié la question:c'est qu'elle est la nature de cette quadrique...

[abcd22]

Bonsoir,
Quelle est la signature de la forme quadratique associée ?

[surf-555]

en fait je sais pas c'est quoi la signature d'une forme quadratique.
J'ai d'abord trouvé les valeurs propres qui sont -2,3 et 6.Et la je cherche les vecteurs propres.

[abcd22]

en fait je sais pas c'est quoi la signature d'une forme quadratique.

On montre que toute forme quadratique sur un espace E de dimension finie admet (au moins) une base orthogonale, sa matrice dans cette base est diagonale avec p valeurs strictement positives et q strictement négatives, on appelle (p,q) la signature de la forme quadratique, et ça ne dépend pas de la base orthogonale choisie. On peut aussi définir p comme la dimension du plus grand sous-espace F de E tel que la restriction de la forme quadratique à F soit définie positive, idem pour q avec définie négative. p est aussi le nombre de valeurs propres strictement positives de l'endomorphisme associé à la forme quadratique, et q le nombre de ses valeurs propres strictement négatives. Je demandais ça parce que la classification des quadriques que j'ai est faite par signature, mais il me semble que cette notion a disparu du programme des prépas à la dernière réforme.

J'ai d'abord trouvé les valeurs propres qui sont -2,3 et 6.Et la je cherche les vecteurs propres.

On a donc ici une signature (2,1), la quadrique est du genre hyperboloïde d'après mes archives de prépa. Il faut encore déterminer si c'est un hyperboloïde à une ou deux nappes ou un cône. Une fois qu'on a trouvé des vecteurs propres orthonormés, on fait un changement de base (rotation du repère en fait) pour exprimer l'équation dans cette nouvelle base, et on doit avoir + des termes de degré un et une constante.
On rentre les termes de degré 1 dans les carrés pour obtenir quelque chose de la forme .
Si d = 0 la quadrique est un cône, si d 0 c'est un hyperboloïde à une nappe.
Dans les 3 cas le point de coordonnées (a, b, c) est centre de symétrie de la quadrique, et on aurait aussi pu le trouver dès le départ car il vérifie , si on appelle Q le polynôme qui définit la conique.

[abcd22]

Rq : la nouvelle base est choisie de sorte que donc quand on fait le changement de base ce n'est pas la peine de faire tous les calculs pour cette partie de l'équation (sauf si on veut vérifier...). Et je n'ai pas dit que j'appelais les coordonnées dans la base orthonormée formée de vecteurs propres pour 3, 6 et -2 (dans cet ordre), mais je suppose que tu avais compris.

[surf-555]

merci beaucoup