Quadrique

[JP57120]

Bonsoir, j'ai un petit problème avec cet exercice. Merci de votre aide par avance.

Enoncé

Soit q la forme quadratique définie par q(x,y,z)= y² + 2xz

1/a/ Pour tout couple de réels (x,z), donner une relation entre xz, (x+z)² et (x-z)².

b/ Ecrire q comme combinaison linéaire de 3 carrés.

c/ Déterminer une transformation orthogonale direct : Phi:(x,y,z);)(X,Y,Z) telle que q(x,y,z) = aX² + bY² - aZ² où a et b sont des constantes positives que l'on précisera. Quelle est la nature de l'application Phi ?

2/ On considère la quadrique S1 d'équation y² + 2xz - 2x = 0. Quelle est la nature de S1 ? Préciser le centre de cette quadrique.

3/ On note P1 l'intersection entre S1 et le plan xOy. Quelle est la nature de P1 ?

4/Donner une équation cartésienne du cône C1 ayant pour sommet le point de coordonnées (1,1,1), s'appuyant sur P1.

5/ Soit A le point de coordonnées (xA,yA,zA), zA;)0. On désigne CA le cône de sommet A et s'appuyant sur P1.

a/ Donner une équation cartésienne de CA.
b/ A quelle condition sur (xA,yA,zA) le point B de coordonnées (1,1,1) appartient-il à CA ?


Réponse

1/a/ xz = 1/4[(x+z)²-(x-z)²]
b/ q(x,y,z) = y² + 1/2[(x+z)²-(x-z)²]
c/ a=1/4 et X=(x+z) et Z=(x-z)

Pour la 2/ je pense que je dois utiliser la question précédente mais je vois pas comment faire =s.

Pour la 3/ Je remplace z=0.

Pour la suite, je n'y arrive pas non plus.

Je vous remercie de votre aide.

[gigamesh]

Bonsoir,
je ne garantis pas que je ne vais pas dire de bêtises vu que la prépa c'est loin...

D'accord avec 1a et 1b.
Pour le 1c, ça ne serait pas mieux de prendre X=(x+z)/rac2 et Z=(x-z)/rac2 avec a=b=1 ? Comme ça ta matrice est orthonormale et phi est une rotation.

Du coup pour le 2, on aura 2x = (X+Z)rac2 donc avec le changement d'axes l'équation de S1 est X²+Y²-Z²-rac2*X -rac2*Z=0 que tu peux mettre sous forme canonique (comme pour les sphères en terminale...). Et ça sent l'hyperboloïde.

Le 3 est très facile ; y²+2xz-2x=0 et z=0 <=> x=y²/2 et z=0 donc P1 est une P...

Le 4 est un cas particulier du 5a. Autant faire le 5 direct. Bon le 5b a l'air facile. Pour le 5a, voila ce que je proposerait bien :

On considère le point M(x;y;z) avec z<>zA.

On trouve une équation paramétrique de (AM), et en posant z=0 on trouve le lambda qui nous donne les coordonnées du point d'intersection N de (AM) avec xOy (point d'intersection qui existe car z<>zA). En fait les coordonnées en question sont fonction des coordonnées x, y et z de M, bien sûr (et de xA, yA et zA !).

Alors on peut dire M app CA <=> les coords de N vérifient x=y²/2 et ça devrait nous donner l'équation cherchée.

Bon courage !