6 quadrilatères pour 8 sommets

[Alkanor]

Bonjour à tous :lol3: ,

tout est dans le titre, je voulais simplement savoir si il était possible (il semblerait que non) de délimiter 6 quadrilatères non croisés et ne se "coupant" pas quelconques avec seulement 8 sommets.

Il se trouve qu'après plusieurs essais on s'aperçoit bien vite que c'est difficilement faisable mais j'aimerais savoir si il existe des lois concernant ce genre de problème. Je précise que je ne suis qu'en sup donc je n'ai pas vu grand chose de nouveau pouvant traiter ce type de problème.

Par avance merci :lol5:

[Nerra]

Hello,

Je tente ma chance.

Quand tu dis qu'ils ne se coupent pas, ça veut dire qu'ils ne peuvent pas être imbriqués les uns dans les autres ? Je vais essayer de faire un dessin de ce que j'entends par là.



J'ai bien 8 sommets, A, B, C, D, E, F, G et H.
J'ai les quadrilatères ACBD, AEBD, AFBD, AGBD, AHBD. Mais il y a aussi ACBE, ACBF, ACBG, ACBH.

Je pourrai peut-être t'éclairer plus sur ces "lois" quand tu me diras si des quadrilatère imbriqués sont permis ou pas :we: .

Nerra

[Alkanor]

Merci pour ta réponse ;)

Je ne compte que 5 quadrilatères sur ton schéma car je ne compte pas les quadrilatères "imbriqués" comme tu le dis :lol3:.

En fait le problème peut se résumer ainsi : imaginons un cube présentant 6 faces identiques (symétriques par les 2 axes passant par le centre du cube et les milieux des côtés) et qu'on souhaite mettre "à plat" le cube, sachant qu'il ne faut que 8 sommets et qu'on peut déformer comme on veut chaque face du moment qu'elles gardent 4 côtés. Est-ce possible ?

[Doraki]

Si tu t'autorises à déformer les arêtes tu peux faire un graphe plan avec 8 sommets 6 faces (en forme de quadrilatères) et 13 arêtes. Tu obtiens un cube si tu découpe tout et que tu recolles les deux arêtes au bord du graphe (qui n'appartiennent qu'à une seule face du graphe).

[Nerra]

Si tu t'autorises à déformer les arêtes tu peux faire un graphe plan avec 8 sommets 6 faces (en forme de quadrilatères) et 13 arêtes. Tu obtiens un cube si tu découpe tout et que tu recolles les deux arêtes au bord du graphe (qui n'appartiennent qu'à une seule face du graphe).

Je n'arrive pas à faire ce que tu dis, lorsque je déforme le cube sur le plan, je me retrouve avec seulement 5 faces. Je suis curieux de savoir comment tu fais :lol3: .

[Alkanor]

Je n'arrive pas à faire ce que tu dis, lorsque je déforme le cube sur le plan, je me retrouve avec seulement 5 faces. Je suis curieux de savoir comment tu fais :lol3: .

Pourrais-tu me renseigner sur ces lois ? :we:

[Nerra]

He bien ... je peux me tromper, maintenant que Doraki a dit que c'était possible à faire.

Néanmoins, voilà ce que je pense.
Pour tracer un quadrilatère, tu as besoin de 4 sommets, il n'y a pas le choix.
D'après moi, le nombre maximum de sommets de ce premier quadrilatère qu'il est possible d'utiliser pour en tracer un second est 3. Donc, pour avoir deux quadrilatères, il suffit de 4 + 1 = 5 sommets.
On répète ce processus jusqu'à ce que l'on ait utilisé tous les sommets qui nous étaient alloués, ici 8.
Ainsi, on peut avoir 8 = 4 + 4 sommets. On peut donc tracer 4 autres quadrilatères en plus du premier, ce qui fait 5 en tout.

Ce n'est pas une "loi" ... je sais pas ce que je pensais à ce moment-là pour écrire ce mot :marteau: .

[Alkanor]

Oui en effet ça paraît assez logique ;)

On peut considérer que ce sujet est résolu !

[Doraki]

hmm j'avais pas remarqué au début mais dans mon dessin j'ai deux arêtes différentes entre deux mêmes points, ce qui peut prêter à des arguments si c'est valide ou pas.

On met deux carrés l'un au-dessus de l'autre avec 6 points et 7 arêtes.
On rajoute un point à gauche et un point à droite, on relie chaque nouveau point avec les deux coins du rectangle qui lui font face (ça rajoute deux quadrilatères).
Et pour finir on relie ces deux points par une "arête" qui passe au-dessus du graphe, et une autre arête qui passe par en-dessous (j'avais bien dit que je déformais des arêtes), ça rajoute deux "quadrilatères".

il me semble que c'est le seul moyen d'avoir un truc ressemblant à ce que tu demandais (on peut raisonner avec la caractéristique d'euler du graphe et le nombre d'arêtes pour montrer qu'on a au plus deux arêtes qui ne sont pas dans 2 quadrilatères à la fois, donc à la frontière du dessin et pas à l'intérieur ; et à partir delà on a plus bcp de choix)