Quadrilatère cyclique

[OUNC15310]

Démontrez que la somme de deux angles opposés d'un quadrilatère vaut π si et seulement si est un quadrilatère cyclique.
J'ai démonté l'inverse , Si un quadrilatère est cyclique , alors la somme des angles opposés est égale à π.
Comment je vais démonter l'inverse ? Je suis bloquée.
la somme de deux angles opposés d'un quadrilatère vaut π , alors ce quadrilatère est cyclique?
Merci

[phyelec]

Bonjour,

Une démonstration par l'absurde ( trouvée sur internet) :

Considérons un quadrilatère convexe ABCD dont les angles en A et en C sont supplémentaires. Notons O le centre du cercle circonscrit au triangle ABD. Ce cercle coupe la demi-droite droite OC en C' pour former un quadrilatère convexe inscriptible ABC'D. Si alors l'angle en C du quadrilatère initial est différent de celui du nouveau quadrilatère en C'. Comme l'angle en A est le même dans les deux cas, les angles en A et en C ne sont pas supplémentaires puisque ceux en A et C' le sont. Donc C=C'.

http://www.forum.math.ulg.ac.be/viewthr ... 5&id=41879

[OUNC15310]

Merci.