par Doraki » 07 Déc 2011, 00:06
Dans les deux premières questions, on se rend compte que si on appelle V = Vect(A,A²,A^3 ...) le sous R-espace vectoriel de M3(R) engendré par A, A², A^3 ...., V est en fait un R-espace vectoriel de dimension 2, dont (A, A²) est une base.
On décide donc promptement d'appeler An et Bn les coordonnées des matrices qui nous intéresse (les A^n) dans cette base, et on souhaite traduire complètement notre problème de matrices 3*3 en un problème de vecteurs de V.
Pour cela on constate que la multiplication par A est une application linéaire de Vect(A,A²,A^3...) dans lui-même, et donc maintenant qu'on sait que V est de dimension 2, cette opération est traduite par une matrice (2*2), B, qui exprime la multiplication par A dans la base (A,A²) de V.
Et donc calculer les coordonnées de A^n dans la base (A,A²) (c'est à dire le vecteur (An,Bn)),
c'est la même chose que de calculer B^(n-1) appliqué aux coordonnées de A dans la base (A,A²) (c'est à dire le vecteur (A1=1,B1=0))
Donc tout ça pour simplifier le problème. Au lieu de travailler sur des matrices 3*3, on travaille sur des vecteurs de R² et un endomorphisme de R² à itérer.
Sans faire la question 3, c'est complètement évident que tu va diagonaliser à ton insu la matrice de B,
et donc ramener le problème au calcul des puissances de D (au passage P est quasiment la matrice de Vandermonde associée aux valeurs propres de B = celles de A)
Seulement pour une matrice diagonale, ce n'est plus tellement un problème de calculer ses puissances.
Et donc les questions 4 et 5 vont te faire faire tout le chemin à l'envers : on connaît les puissances de D, donc on connaît les puissances de B, donc on connaît les vecteurs (An,Bn), donc on connaît les coefficients de A^n en fonction de n.
On aurait pu diagonaliser A dès le départ (y'aurait eu les deux mêmes valeurs propres -1 et 2, + la valeur propre 0 puisque A n'est pas inversible), ça aurait juste été un peu plus difficile de jongler avec les matrices de passage.
En général, si A est une matrice n*n, V est de dimension n (le théorème de Cayley hamilton dit que (In,A,A²...A^(n-1)) engendre V, donc V est de dimension au plus n)
Ici, on y gagne parceque A n'est pas inversible (ça fait que In n'est pas dans V donc V est de dimension au plus n-1)
Il y a d'autres cas où on y gagne, c'est quand le polynôme minimal de A est plus petit que son polynôme caractéristique.
