Puissance d'une matrice

par **llaura01** » 01 Nov 2007, 15:38

voilà l'exo :

http://img219.imageshack.us/img219/4758/sanstitreuo6.jpg

je trouve que A²=-A. J'en déduis les puissances de A. Pour n=2p+1, A^n=A et pour n=2p, A^n=-A.
donc selon l'énoncé j'ai : M= 3A + I
j'ai :http://img363.imageshack.us/img363/827/88286898sx5.jpg
mais là la correction dit : http://img219.imageshack.us/img219/9633/17798190ew6.jpg

je crois que je comprends la deuxième égalité mais alors après j'ai besoin d'aide !
merci

par **tize** » 01 Nov 2007, 15:57

Bonjour,
ce que tu as écris est juste :

car

vaut un coup

et un coup

Donc :

d'après la formule du binôme de Newton... puis factoriser par -1

par **llaura01** » 01 Nov 2007, 16:10

ahhh merci

par **tize** » 01 Nov 2007, 16:22

Mais de rien...

par **llaura01** » 01 Nov 2007, 16:35

Voilà un exo du même type j'aimerais savoir si mes réponses sont justes.
http://img380.imageshack.us/img380/8090/sanstitreea8.jpg

Donc je trouve que M est inversible par pivot . Ensuite on a A²=I et
J^n=(3)^(n-1)J
J et A commutent donc on peut utiliser Newton.
Eest-ce que vous trouvez ceci :
M^n = J^n + (3+m)^n.(3AJ+(J/3))

par **tize** » 01 Nov 2007, 16:58

Petite remarque le résultat du pivot comme celui du déterminant dépend de la valeur de m !!! Il y a deux valeurs possibles pour lesquelles M n'est pas inversible !

par **llaura01** » 01 Nov 2007, 17:02

oui pour qu'il n'y ait pas de 0 sur la diagonale m différent de 0 et -3.
mais sinon le résultat est bon?

Puissance d'une matrice

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