Puissance n d'une matrice

[maximedefoz]

Bonjour à tous!


J'ai un problème concernant la résolution de cet exercice :
Soit et
Montrer que est de la forme et expliciter et

Je souhaite le résoudre sans utiliser la formule du binôme de Newton puisque la question suivante est de vérifier avec le binôme.


Si ça peut vous faciliter la tâche, je trouve avec le binôme :
De plus T est nilpotente d'indice n=3 et

J'ai pensé que les suites récurrentes linéaires pouvait m'aider mais cela nous donnerai une équation caractéristique de degrés 3, de plus 1 est racine triple mais voilà je suis bloqué ici avec cette méthode et je n'en vois pas d'autres.

Merci d'avance pour votre aide!

[mehdi-128]

Salut, je dirais une récurrence après avoir testé , etc... On fait une conjecture qu'on démontre pas récurrence.

[LB2]

Bonjour,

tu peux montrer la propriété P(n) : "il existe un couple unique de réels (a_n ,b_n) tels que A^n soit de la forme voulue .... "
par récurrence sur l'entier n
Tu obtiendras ainsi l'existence, l'unicité de a_n et b_n ainsi qu'une relation de récurrence entre a(n+1) et a(n), b(n+1) et b(n). Normalement cette relation sera simple, et tu pourras en déduire que a(n)=n et b(n)=n(n-1)/2.

Autrement dit et plus simplement : calcule A^2, puis A^3, remarque un pattern qui se généralise et démontre le par récurrence.

[maximedefoz]

Et bien le seul pattern possible est a(n)=n et b(n)=n(n-1)/2, autrement dis je dois expliciter (deviner?) a(n) et b(n) avant de pouvoir montrer que A^n s'écrit sous cette forme? Ce n'est pas le cheminement demandé par l'exercice..

[LB2]

non ce n'est pas ça.

Tu calcules A^2.
Tu calcules A^3.

Tu en déduis une formule générale pour A^n que tu démontres par récurrence

[FLBP]

Petit tour sur les blocs de Jordan : https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9duction_de_Jordan

[pascal16]

on suppose la forme bonne avec an et bn
(A^n)*A = on calcul les termes à la main et ça te donne la relation de récurrence