Puissance d'une matrice

[Lostounet]

Bonjour,

Je cherche à calculer la puissance n-ème de la matrice suivante mais aucune des méthodes du cours ne marche. Je n'arrive pas à la décomposer en somme de nilpotente et une autre pour faire le binome de Newton...


J'ai eu un indice, il faut poser un polynôme et faire une division euclidienne, mais je n'ai pas bien compris ce que voulait dire mon prof...

Merci !

[jlb]

salut, le polynôme minimal de ta matrice est p(x) =(x-1)(x-2)(x-3). il est annulé par ta matrice.( calcul (M-I)(M-2I)(M-3I) par exemple si tu ne connais pas th de Cayley

Tu développes puis tu effectues la division euclidienne de X^n par p(x): tu ne fais pas la division!!! tu remarques que le reste est 1,X,X² ou un polynôme de degré inférieur ou égal à 2 ( et tu calcules les coefficients de ce polynôme en fonction de n en choisissant x=1,x=2 et x=3)

Sinon c'est facile de décomposer ta matrice avec diagonale et nilpotente: le pb il faut qu'elles commutent)

tu peux aussi diagonaliser ta matrice et ensuite tu as tes puissances facilement

[Maxmau]

Remarque qui complète ce qui précède:
Si L1 , L2 , L3 sont les polynômes de Lagrange associés au triplet x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 3
on a: A^n = L1(A) + 2^n L2(A) + 3^n L3(A)