Puissance

[Vcgda]

Bonjour,

J'ai découvert par hasard qu'on ne pouvait pas élever un nombre négatif à une puissance qui n'est pas un entier :

-2^2 = 4
mais
-2^2,1 : impossible.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi ?

Merci d'avance

[chan79]

Bonjour,

J'ai découvert par hasard qu'on ne pouvait pas élever un nombre négatif à une puissance qui n'est pas un entier :

-2^2 = 4
mais
-2^2,1 : impossible.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi ?

Merci d'avance

pour , la calculatrice comprend

qui n'existe que si x>0

[Vcgda]

Merci pour ta réponse Chan79.

En fait mon problème est sur Excel, J'en ai discuté avec un collègue et sa calculatrice nous donne des résultats, quelque soit l'exposant. Donc il y a bien un façon de faire ce calcul qui est différente de celle que tu proposes. Saurait-tu laquelle ?

Merci d'avance

[chan79]

Merci pour ta réponse Chan79.

En fait mon problème est sur Excel, J'en ai discuté avec un collègue et sa calculatrice nous donne des résultats, quelque soit l'exposant. Donc il y a bien un façon de faire ce calcul qui est différente de celle que tu proposes. Saurait-tu laquelle ?

Merci d'avance

avec =(-2)^2.1 Excel me donne une erreur (avec des parenthèses autour de -2)

[Vcgda]

avec =(-2)^2.1 Excel me donne une erreur (avec des parenthèses autour de -2)

oui en effet ça ne marche pas comme ça sur Excel, mais j'aimerais contourner cette "faiblesse" d'Excel, puisqu'en fait ce calcul est possible. Et donc je cherche une formule que je pourrais utiliser pour obtenir un résultat.

Merci

[Ben314]

Le "petit" problème, c'est que la "faiblesse" d'Excel, c'est aussi la "faiblesse" des mathématiques qui s'entendent pour dire que (-2)^2.1 n'existe pas vraiment (pas plus que 1/0 par exemple).

Pour faire un petit "tour d'horizon" de ce que peut signifier a^b en math :
- Si b est un entier naturel non nul, fastoche, a^b=axaxa...xa (b fois) et donc a peut être un réel absolument quelconque (voire même un complexe ou une matrice carrée ou... des tas de chose)
- La constatation que, pour passer de a^b à a^(b+1) il faut multiplier par a et donc que pour passer de a^b à a^(b-1) il suffit de diviser par a conduit à prolonger la liste des puissances de a : a, a^2, a^3,... pour les exposant négatif ou nul en divisant par a à chaque fois qu'on recule d'un cran.
On obtient ... 1/a^3, 1/a^2, 1/a, 1 , a, a^2,... SAUF QUE, évidement, ce procédé (diviser par a) n'est possible que pour a non nul : donc a^b avec b entier négatif ou nul n'a plus de sens lorsque a=0 (en particulier 0^0, c'est pas bien défini).
On peut encore utiliser ces puissance négatives ou nulles pour des complexes non nuls ou des matrices carrées inversibles.
- Ensuite, la constatation que (a^b)^c=a^(bc) permet de voir que, si on veut définir de façon cohérente a^(1/2), on aimerais que (a^1/2)^2=a^1=a donc que a^(1/2) soit la racine carré de a.
Mais attention : la racine carré de a n'existe (dans R) que pour a>=0 donc a^(1/2) n'a de sens que pour a>=0. Par contre, de la même façon, on peut décider que a^(1/3) désigne la racine cubique de a et qu'en conséquence, elle existe même pour a négatif : (-8)^(1/3)=-2.
On est évidement tenter de "généraliser" en décrétant par exemple que a^(4/3), c'est la puissance 4em de la racine cubique de a (ou la racine cubique de la puissance 4em de a...)
Sauf que là, ça commence déjà un peu à déconner : supposons que, par exemple, j'écrive bêtement que a^1=a^(2/2).
Le a^1 est sans ambiguïté : il vaut a et ceci pour n'importe quelle valeur de a réel (positif, négatif ou nul).
Par contre a^(2/2) peut désigner
1) Soit la racine carré de a^2 qui existe pour tout a, mais qui vaut -a si a est négatif et pas a.
2) Soit le carré de la racine carré de a qui n'existe que si a>=0.
Donc il faut grandement se méfier de l'écriture a^b lorsque a est négatif et b rationnel.
- Enfin, pour b un réel absolument quelconque (rationnel ou pas) on peut définir a^b comme étant égal à exp(b.ln(a)) mais il faut dans ce cas forcément que a>0.

Tout ce (long) baratin pour finir par te poser une question : tu voudrait bien que (-2)^2.1 ça vaille "quelque chose", O.K., mais avec quelle définition de a^b ?

[Pythales]

Autre remarque :
Dans le 1er cas, qui n'existe pas
Dans le 2ème cas qui existe ...

[Euler07]

Les réponses de Ben sont toujours aussi complet, content de te revoir ;)

:livre:

[Ben314]

content de te relire aussi Euler !!!

[Vcgda]

En fait, une partie de la formule que je fais sur excel est la suivante :

((1-Ts/Tc)/(1-Tb/Tc))^(Tb/Tc)

les T étant des températures que j'utilise pour corriger la constante de Henry.

C'est en modifiant de façon aléatoire les valeurs de T que j'ai remarqué qu'excel ne donnait pas de résultats pour les nombres négatifs portés à une puissance qui est un nombre décimal et que j'en suis venu à vous demander conseil.

Toutefois, en poussant mes recherches j'ai pu voir que Tc est toujours supérieure à Ts et à Tb, donc j’obtiendrais un résultat avec cette formule.

Merci donc pour vos réponses qui ont bien éclairées ma lanterne.

[deltab]

Bonjour.

Le problème ici est qu'on essaie de définir des opérations sur un ensemble-quotient E/R où R où R est est une relation d'équivalence et est bien un ensemble-quotient (Revoir sa construction à partir de ). Les opérations les plus intéressantes qu'on peut définir sur un ensemble-quotient E/R sont celles qui ne dépendent que de la classe d'équivalence et non du représentant choisi pour définir l'opération.

Pour donner un sens à , , on sort du domaine réel et on se place dans le domaine complexe et on pose a^b=e^{b\ln(a) où on définit le logarithme complexe pour .

Si une calculatrice donne un résultat pour pour et , il faudra vérifier que
1) On n'a pas fait de faute de frappe : -2^{2.1} est compris au sens -(2^{2.1}) et non au sens de
2) Voir la documentation de sa calculatrice pour voir comment est défini dans ce cas (et les autre opérations qui ne sont visiblement pas définies).

Je viens de tester dans un logiciel l'expression et ce logiciel m'a retourné un résultat alors que est définie pour (ou du moins la notation qu'on connait)

[Ben314]

Je viens de tester dans un logiciel l'expression et ce logiciel m'a retourné un résultat alors que est définie pour (ou du moins la notation qu'on connait)

La généralisation "naturelle" de la fonction factorielle à l'ensemble des réel positifs (voire des complexes non entier négatifs) est la fonction gamma ce qui explique que certaines machines/ordi. acceptent parfaitement de calculer des factorielles non entières (c'est utile dans pas mal de cas en proba en particulier)