Puissance de matrice (espace euclidien)

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bruno444
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puissance de matrice (espace euclidien)

par bruno444 » 09 Nov 2022, 12:27

Bonjour,

Dans l'espace euclidien de dim 3, j'ai l'endomorphisme de E dans la base canonique de matrice
A =

on me demande de trouver le polynome caractéristique de A puis les deux sous espaces propres E1 et E2 de E
puis de calculer les projecteurs orthogonaux Q1 de E1 et Q2 de E2

Ce que je ne trouve pas c'est quand on me demande de trouver en fonction de k(entier) et Q1 et Q2

Je ne vois pas quelle sont les propriétés de Q1 et Q2 pour calculer



issoram
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Re: puissance de matrice (espace euclidien)

par issoram » 10 Nov 2022, 14:42

Bonjour,

Aurais-tu l'énoncé exact de ton exercice?

bruno444
Messages: 5
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Re: puissance de matrice (espace euclidien)

par bruno444 » 10 Nov 2022, 18:40

Bonjour, issoram, voici l'énoncé avec ce que j'ai trouvé :

Dans l'espace euclidien (avec le produit scalaire canonique de R^3 et la norme euclidienne associée)
Soit u un endormorphisme de E=R^3 de matrice dans la base canonique ,
A =

1)
trouver le polynome caractéristique de u,
fait :

2)
vérifier que = 3 est une valeur propre de u
trouver un base du sous espace propre associé à
Vérifier que est un sous espace propre

fait :
Le polynôme n'admet pas d'autre solution dans

la base de est
choisi pour que ce soit orthogonal à
par contre, je ne vois pas comment vérifier que est un sous-espace propre
3)Trouver la matrice dans la base canonique de de la projection orthogonale sur , puis la matrice dans la base canonique de de la projection orthogonale sur

fait

et


4) Soit un entier . Déterminer en fonction de
Je ne vois pas comment faire.
Je ne vois pas quelles propriétés de et me permettent de calculer

issoram
Membre Naturel
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Re: puissance de matrice (espace euclidien)

par issoram » 10 Nov 2022, 23:46

Déjà , je pense que ton polynôme caractéristique est faux.
Si c'est la bonne matrice, tu devrais trouver:

bruno444
Messages: 5
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Re: puissance de matrice (espace euclidien)

par bruno444 » 11 Nov 2022, 11:12

Effectivement, je me suis trompé.



et

du coup, j'ai calculé

et les avec Gram-Schmidt pour orthonormaliser les vecteurs et la formule de projection




Pour la dernière question, je bloque toujours.
J'ai simplement remarqué que

GaBuZoMeu
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Re: puissance de matrice (espace euclidien)

par GaBuZoMeu » 11 Nov 2022, 11:59

Multipostage !

issoram
Membre Naturel
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Re: puissance de matrice (espace euclidien)

par issoram » 11 Nov 2022, 13:06

C'est ok pour les matrices et

Maintenant pour la dernière question:

étant la matrice associée à l'endomorphisme .
  • Soit un vecteur de . Comment peux-tu décomposer sur et ?
  • Que vaut alors ?

bruno444
Messages: 5
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Re: puissance de matrice (espace euclidien)

par bruno444 » 11 Nov 2022, 19:09

GaBuZoMeu a écrit:Multipostage !


Désolé, je n'en ferai plus à l'avenir !

issoram
Membre Naturel
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Re: puissance de matrice (espace euclidien)

par issoram » 11 Nov 2022, 21:18

Je ne sais pas si tu as eu le fin mot de l'histoire sur un autre forum... Bref pour la dernière question:

u étant diagonalisable:
Ainsi tout élément de s'écrit
Par linéarité de :

Or et donc et

Finalement :

ce qui donne matriciellement:



qui est bien l'expression de en fonction de et

bruno444
Messages: 5
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Re: puissance de matrice (espace euclidien)

par bruno444 » 12 Nov 2022, 04:17

Merci issoram,

On m'a donné des éléments de réponse sur l'autre forum. Je n'ai plus besoin d'aide.

 

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