R, "puissance du continu"

[kazeriahm]

salut a tous

dans mon cours de sup, on présentait R de la manière suivante

"On admet qu'il existe un corps noté R, totalement ordonné (relation d'ordre compatible avec la structure de corps), archimèdien,etc..."

bon j'ai vu ensuite extra muros comment on pouvait construire R comme étant l'adhérence de Q, etc...

je me demandais si de l'un de ces deux points de vue découlait la propriété qu'a R de possèder "la puissance du continu", c'est à dire qu'entre 2 réels on peut toujours en trouver un autre, distinct des deux précédents ?

le fait que Q soit dense dans R constitue-t-il une démonstration de cette propriété ?

[aviateurpilot]

je vais essayer, mais je suis sure que je vais faite une :briques: lol.

soit tel que .
tel que car est archimèdien.
donc .
et donc

donc cette demo j'ai utilisé le fait que est un corps et archimédien et totalement ordonné

[Lierre Aeripz]

On ne construit pas vraiment comme étant l'adhérence de . L'adhérence n'a de sens que si l'on a déjà construit l'ensemble contenant la partie.
Par exemple, est dense dans l'ensemble des réels algébriques. On peut même dire que est dense dans lui-même. Ces deux ensembles (les rationnels et les algébriques) sont des corps, il sont totalement ordonnés et archimédéen, mais ce ne sont pas car il ne sont pas complets.

"La puissance du continu" n'a rien à voir avec le proprieté qu'entre deux éléments, il en existe un troisième. Même le corps des rationnels vérifie cette propriété.

Ce que l'on appelle puissance du continu, c'est le cardinal de , au sens des grands cardinaux, introduits par Cantor.
Deux ensemble ont même cardinal s'il peuvent être mis en bijection.

Il existe une affirmation indécidable à ce sujet : il existe un ensemble de cardinal supérieur à celui de (ou , quoique ce soit de dénombrable) mais inférieur à celui de .

Tout ceci est très lié aux axiomes de la théorie des ensembles. Tu peux par exemple lire le livre de Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles.

[kazeriahm]

ok donc si j'ai bien compris R a la puissance du continu par définition de cette notion ?

[Lierre Aeripz]

Exactement.

[kazeriahm]

bon alors comme tu as pu le remarquer j'y connais keud' mais je demande quand meme par exemple C est plus grand que R non ? et tout R-ev de dimension >1 est plus grand que R ?

ou bien on peut trouver des bijections entre ces ensembles ?

si on ne peut en trouver, pourquoi définir une notion sur R alors qu'on peut trouver des espaces plus grand ?

[tize]

...
bon j'ai vu ensuite extra muros comment on pouvait construire R comme étant l'adhérence de Q, etc...

En fait on peut construire R comme étant un ensemble de classes d'équivalences sur l'ensemble des suites de Cauchy rationnelles avec la relation d'équivalence : si dans Q.

[kazeriahm]

et puis pour en revenir à R comme "l'adhérence" de Q, en fait c'est surement un abus de language de ma part mais si je me rapelle bien :

on considère l'ensemble des suites de Cauchy a valeurs dans Q, et on dit que deux suites u et v sont équivalentes si leur différence tend vers 0. On considère alors l'ensemble des classes d'équivalences : R. C'est bien ca?

[kazeriahm]

bon bé voila tize merci :we:

[yos]

ok donc si j'ai bien compris R a la puissance du continu par définition de cette notion ?

Sur ce point je suis pas trop d'accord.

[Lierre Aeripz]

On dit qu'un ensemble a la puissance du continu s'il est equipotent à .

Ensuite, et ça peut paraître étrange, et sont équipotents. C'est encore Cantor qui a établi ce résultat. Mais si ça peut te rassurer, les bijections entre et ne sont pas continues.

[kazeriahm]

sur ce dernier point je savais (le fait qu'on pouvait trouver des bijections mais qu'elles étaient discontinues) mais j'avais pas fait le lien

il y avait pas aussi un délire avec le carré de peano qui met en bijection [0,1] avec [0,1]^2 et par "transitivité" ca revient au résultat de Cantor?

[Lierre Aeripz]

Peano fait une surjection continue de [0,1] dans [0,1]^2.

[kazeriahm]

ok d'accord

merci pour toutes ses réponses, il est temps que je regarde ca moi meme plutot que d'enchainer les questions :we:

merci encore

[quinto]

je me demandais si de l'un de ces deux points de vue découlait la propriété qu'a R de possèder "la puissance du continu", c'est à dire qu'entre 2 réels on peut toujours en trouver un autre, distinct des deux précédents ?

Non, Q possède déjà cette propriété et n'est pas complet.
Tout corps entre Q et R va d'ailleurs avoir cette propriété sans être complet.

le fait que Q soit dense dans R constitue-t-il une démonstration de cette propriété ?

Oui c.f. plus haut.

Pour le reste, dire que l'on défini R comme l'adhérence de Q n'a aucun sens.
En revanche, R est le complété (ou la complétion) de Q.

[quinto]

bon alors comme tu as pu le remarquer j'y connais keud' mais je demande quand meme par exemple C est plus grand que R non ? et tout R-ev de dimension >1 est plus grand que R ?

ou bien on peut trouver des bijections entre ces ensembles ?

Les deux à la fois.
Ces deux notions sont distinctes même si c'est contre intuitif.

[Yipee]

Je pense que la confusion vient du terme "plus grand". Je pense que tu as l'intuition de "plus grand" par : A est plus grand que B si B est inclus dans A. C'est la relation d'ordre de l'inclusion. Le problème est que cela fonctionne bien dans le cadre des sous-ensembles d'un ensemble E fixé. En particulier on ne peut pas faire cela si on veut considérer tous les ensembles.

La bonne notion est la notion d'équipotence (existence de bijection entre deux ensembles). Maintenant il est simple de construire des ensembles de plus en plus grand (strictement). On commence à N puis à R qui est equipotent à P(N) (l'ensemble des partie de N) puis P(R) et ainsi de suite. Cela fait des ensembles qui ne sont pas équipotents car il est connu (exercice de base de début de sup) qu'il n'y a pas de surjection de E dans P(E).

[SimonB]

Cela fait des ensembles qui ne sont pas équipotents car il est connu (exercice de base de début de sup) qu'il n'y a pas de surjection de E dans P(E).

Exercice de base de début de sup' qui est tombé à l'X il y a quelques années... :ptdr:

[yos]

Je réagissais plus haut à une affirmation de Kazeriahm. Je précise ce que je voulais dire (car c'est sans doute moi qui ai mal compris) : le fait que R n'est pas équipotent à Q se démontre (preuve dite de la "diagonale" de Cantor). Ensuite c'est vrai que l'on baptise de "continu" les ensembles équipotents à R.

[Yipee]

Exercice de base de début de sup' qui est tombé à l'X il y a quelques années... :ptdr:

Je voulais dire "exercice de base de début de sup - de quand j'y étais il y a 15 ans (putain déjà 15 ans !!!!).