Puissance complexe

[Le_chat]

Salut!

Je me posais une petite question: comment definit-on la puissance complexe dans la fonction Zeta? par exemple

Merci d'avance :we:

PS: je me posais une autre question: une conjecture dit que les zeros non triviaux de cette fonctions sont de partie reele 1/2.
Vous en connaissez des zeros triviaux ? :hein:

[Ben314]

Salut,
Pour tout réel strictement positif x et tout complexe z, on définit x^z par exp(z*ln(x)).
Par exemple 2^(-i) = exp(-i ln(2)) = cos(ln(2)) - i sin(ln(2)) qui n'a rien de trés remarquable...

Les zéros "triviaux" de la fonction zêta de Riemann sont les entiers pairs strictement négatifs.

Tu peut par exemple aller regarder sur Wikipédia là.

[Le_chat]

Okay merci beaucoup :id:

[Le_chat]

C'est encore moi.
Je ne vois pas trop en fait pourquoi par exemple -2 est un zero de cette fonction. pour moi, ce qui est clairement 0.

[Ben314]

Non, ça ne marche pas tout à fait comme ça.
zeta(-2) n'est pas égal à 1²+2²+3²+... puisque cette somme diverge.

Si on prend comme définition de la fonction zeta :
zeta(s)=1^s+2^s+3^s+...
cela ne permet de la définir que pour les complexes s tels que Ré(s)>1.
Sauf que cette fonction est holomorphe (i.e. C-dérivable i.e. développable en série entière au voisinage de tout point) et, lorsque une fonction est holomorphe sur une partie U de C, s'il y a moyen de la prolonger sur un truc plus gros que U, alors ce prolongement est unique [c'est assez différent de l'analyse réelle "élémentaire"]
Ici, il s'avère que la fonction zeta peut se prolonger à C tout entier privé de 0 et 1. mais, si Ré(s)<=1, la définition de zeta(s) n'est plus celle de départ.